Cuánto es ${\aleph_0}^{\aleph _ 0}$?
A la izquierda puedo encontrar${2}^{\aleph_0}\le {\aleph_0}^{\aleph _ 0}$, pero a la derecha no puedo encontrar a alguien que es $\le$.
En general, ¿cómo puedo hacer uso de Cantor-Bernstein para encontrar igualdades de cardinalidades.
Cantor-Bernstein dice que $\lambda\le \mu$ $\mu\le \lambda$ (que es el mismo que $\lambda\ge \mu$) implican $\lambda=\mu$ para los cardenales $\lambda,\mu$. Por tanto, la estrategia para demostrar la igualdad de los cardenales es siempre encontrar un superior y un límite inferior para ellos.
Ahora vamos a hacer esto en tu ejemplo:
$$2^{\aleph_0}\le \aleph_0^{\aleph_0} \le \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0}$$
Por lo tanto, el Cantor-Bernstein implica $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.
El último es exactamente la cardinalidad de los números reales.
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