¿Por qué podemos aplicar el teorema del límite central en este caso?

Question

El problema en cuestión es mostrar que para $X_j$ iid tiene

$$\lim_{n \to \infty}\frac{P(\bar{X}_n \leq x)}{\frac{1}{ \sqrt{2\pi(\sigma^2/n)}} \int_{-\infty}^x \exp\Big(\frac{-(t-\mu)^2}{2(\sigma^2/n)}\Big)\ \text{d}t}=1$$

Al parecer, uno debe notar que $$\{\bar{X}_n \leq x\}=\bigg\{\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} \leq \color{red}{\sqrt{n}}\frac{x - \mu}{\sigma} \bigg\}$$ y, a continuación, aplicar la CLT. Todavía no entiendo por qué podemos aplicarlo si el lado derecho de la desigualdad depende de $n$. Para la aplicación de la CLT, que nos iba a llegar

$$ \lim_{n \to \infty} P\bigg\{\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} \leq \sqrt{n}\frac{x - \mu}{\sigma} \bigg\} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\sqrt{n}\frac{x - \mu}{\sigma}} e^{-t^2/2} \ \text{d}t $$ Que no acaba de tener sentido.

Answer 1

Suponemos que $x\gt 0$, $\mu=0$ y $\sigma=1$. Después de una sustitución, se observe que el denominador va a $1$ $n$ va al infinito. Así que la tarea es mostrar que $\mathbb P\{\bar{X_n}\leqslant x\}\to 1$. A ver que, revisión positiva $R$. Para $n$ tal que $\sqrt n \cdot x\geqslant R$, tenemos $$\mathbb P\{\bar{X_n}\leqslant x \}=\mathbb P\{ \sqrt n\bar{X_n}\leqslant \sqrt n x\}\geqslant \mathbb P\{ \sqrt n\bar{X_n}\leqslant R\}.$$ Usando el teorema del límite central y denotando $N$ una variable aleatoria normal estándar, obtenemos $$\liminf_{n\to\infty}\mathbb P\{\bar{X_n}\leqslant x \}\geqslant \mathbb P\{N\leqslant R\}.$$ Se puede concluir ahora, porque $R$ fue arbitraria.