¿Cómo se diferencia la siguiente función?

Question

Cómo se toma la derivada de la siguiente función:

$$y=\ln(|\sec(5x) + \tan(5x)|)$$ Así que $dy/dx$ de la siguiente función.

Gracias de antemano.

Los pasos que he dado no parecen ser correctos: $$y=\ln(|\sec(5x) + \tan(5x)|)$$ $$y'={\frac{\frac d{dx}(|\sec(5x) + \tan(5x)|) } {{|\sec(5x)+\tan(5x)| }}}$$ $$y'={\frac{|\sec(5x)*\tan(5x)*5 + \sec^2(5x)*5| } {{|\sec(5x)+\tan(5x)| }}}$$ $$y'={\frac{|\sec(5x)*5[\tan(5x) + \sec(5x)] } {{|\sec(5x)+\tan(5x)| }}}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que si $y=\ln|u(x)|$ y, a continuación, utilizar la regla de la cadena, $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u(x)}\cdot\frac{du}{dx}.\quad \text{See my note below for the explanation.}$$ Así pues, la respuesta a su pregunta es la siguiente: $$ \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{\sec 5x+\tan 5x}\cdot(5\sec 5x\tan 5x+ 5\sec^25x)\\ &=\frac{1}{\sec 5x+\tan 5x}\cdot 5\sec 5x(\tan 5x +\sec 5x)\\ &=5\sec 5x. \end{align}$$

Nota : Si $u(x)>0$ entonces $y=\ln|u(x)|=\ln u(x)$ y así, $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u(x)}\cdot\frac{du}{dx}.$$ Mientras que, si $u(x)<0$ entonces $y=\ln|u(x)|=\ln [-u(x)]$ y así, $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{-u(x)}\cdot\frac{-du}{dx}=\frac{1}{u(x)}\cdot\frac{du}{dx}.$$

Answer 2

Sugerencia :

La derivada de la función absoluta es

$$|x|'=\begin{cases}x<0\to-1\\x=0\to\text{undefined}\\x>0\to1.\end{cases}$$

Utiliza la regla de la cadena.

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Otra alternativa (y más sencilla),

$$(\ln|x|)'=\frac1x$$ para $x\ne0$ .