Todos pueden canónica de transformación se obtiene a través de la generación de los enfoques de la función?

Question

La pregunta puede ser formulada de la siguiente:

Supongamos que $$\delta \int_{t_1}^{t_2}{[p\cdot \dot{q} - H(p,q,t) ]dt} = 0$$ $$\delta \int_{t_1}^{t_2}{[P\cdot \dot{Q} - K(P,Q,t) ]dt} = 0$$

en que $$P = P(p,q,t), Q = Q(p,q,t)$$ es invertible transformación.

Podemos demostrar que no debe existir una $\lambda$ y la función $G(p,q,t)$ (o $G(p,Q,t)$, $G(P,Q,t)$, $G(P,q,t)$), tal que $$\lambda[p\cdot \dot{q} - H(p,q,t) ] = [P\cdot \dot{Q} - K(P,Q,t) ] + \frac{dG}{dt}~?$$

Answer 1

Antes de comenzar, tenga en cuenta en primer lugar, que existen varias definiciones de un canónica de transformación (CT) en la bibliografía, cf. por ejemplo, este Phys.SE post. Por ejemplo, el OP de la última ecuación (v1) se llama una extendida canónica de la transformación (TEC) en la Ref. 1.

OP es esencialmente pidiendo (v1):

Si tenemos una transformación $$\tag{A} (q,p)~\longrightarrow~ (Q,P)$$ (con posibilidad de tiempo explícito de la dependencia) que transforma el Hamilton de la nca. en Kamilton de la nca., será un TEC, al menos a nivel local?

La respuesta es: no, no necesariamente. Por ejemplo, en el ejemplo de este Phys.SE post es un contraejemplo. Esto puede ser demostrado por una ligera modificación de la prueba en la nca. (4)-(7) de mi respuesta con el fin de permitir un factor de escala arbitrario $\lambda$.

La integridad, señalemos que el opuesto de (A) es verdadera: Un TEC transforma el Hamilton de la nca. en Kamilton de la nca. Esto se deduce porque sus dos acciones funcionales $S_K=\lambda S_H$ son proporcionales entre sí (hasta el límite de términos). Por lo tanto, la EL nca. (=Hamilton nca.) para $S_H$ corresponde al el nca. (=Kamilton de la nca.) para $S_K$.

Referencias:

1. H. Goldstein, De La Mecánica Clásica, Capítulo 9. Véase el texto del eq. (9.11).