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w(RPq)=1 sólo si q=2k1 para algunos k

¿Cómo puedo demostrar que w(RPq)=1 sólo si q=2k1 para algunos k ?

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Kevin Dong Puntos 5476

Nos basaremos en el cálculo del capítulo 23, sección 3 de la obra de May Curso conciso de topología algebraica que w(\mathbb{R}P^q) = \sum_{0 \leq i \leq q} \binom{q+1}{i} \alpha^i, donde H^*(\mathbb{R}P^q ; \mathbb{Z}_2) \approx \mathbb{Z}_2[\alpha]/\alpha^{q+1}. Supongamos que q = 2^k - 1 . A continuación, observe que \binom{2^k}{i} \equiv 2 \text{ }(\text{mod }2) si i \neq 0,\, 2^k . Además, tenga en cuenta que \alpha^{2^k} = 0 porque la relación en el anillo de cohomología viene dada por \alpha^{2^k} = 0 . Por lo tanto, w(\mathbb{R}P^q) = 1 si q = 2^k - 1 .

Ahora tenemos que demostrar que lo contrario también es válido. Esto se reduce a demostrar que \binom{n}{m}\text{ } (\text{mod }2) es 1 si y sólo si la expansión binomial de m es un subconjunto de la expansión binomial de n . Entonces, si q \neq 2^k - 1 entonces habrá un 1 < m < n tal que \binom{n}{m} \equiv 1\text{ }(\text{mod } 2) y w(\mathbb{R}P^q) \neq 1 .

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