$w(\mathbb{R}P^q) = 1$ sólo si $q = 2^k - 1$ para algunos $k$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $w(\mathbb{R}P^q) = 1$ sólo si $q = 2^k - 1$ para algunos $k$ ?

Answer 1

Nos basaremos en el cálculo del capítulo 23, sección 3 de la obra de May Curso conciso de topología algebraica que $$w(\mathbb{R}P^q) = \sum_{0 \leq i \leq q} \binom{q+1}{i} \alpha^i,$$ donde $$H^*(\mathbb{R}P^q ; \mathbb{Z}_2) \approx \mathbb{Z}_2[\alpha]/\alpha^{q+1}.$$ Supongamos que $q = 2^k - 1$ . A continuación, observe que $$\binom{2^k}{i} \equiv 2 \text{ }(\text{mod }2)$$ si $i \neq 0,\, 2^k$ . Además, tenga en cuenta que $\alpha^{2^k} = 0$ porque la relación en el anillo de cohomología viene dada por $\alpha^{2^k} = 0$ . Por lo tanto, $w(\mathbb{R}P^q) = 1$ si $q = 2^k - 1$ .

Ahora tenemos que demostrar que lo contrario también es válido. Esto se reduce a demostrar que $$\binom{n}{m}\text{ } (\text{mod }2)$$ es $1$ si y sólo si la expansión binomial de $m$ es un subconjunto de la expansión binomial de $n$ . Entonces, si $q \neq 2^k - 1$ entonces habrá un $1 < m < n$ tal que $$\binom{n}{m} \equiv 1\text{ }(\text{mod } 2)$$ y $w(\mathbb{R}P^q) \neq 1$ .