¿Contraejemplo para una función no medible?

Question

Estoy luchando para resolver un ejercicio en mi libro de teoría de la medida y cualquier ayuda para resolverlo sería apreciada:

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ sea un espacio de medidas y que $f:\Omega \to \mathbb{R}$ ser medible. Encontrar una función $g:\Omega \to \mathbb{R}$ que es igual a $f$ en casi todas partes, pero no es medible.

Answer 1

Dos casos:

• Hay un conjunto $N$ contenida en un conjunto medible de medida cero que no es medible.

  En este caso, tome $g:=f+\mathbf 1_{N}$ , donde $\mathbf 1_N$ es la función indicadora de $N$ . No es una función medible, porque de lo contrario también lo sería $\mathbf 1_{N}$ .

• Cada conjunto contenido en un conjunto medible de medida cero es un elemento de $\mathcal A$ (el espacio de medidas se llama completa ).

  En este caso, no existe tal función $g$ . En efecto, supongamos que $f$ es una función medible y que $g\colon\Omega \to\mathbb R$ es tal que $f(x)=g(x)$ para casi todos los $x$ . Demostraremos que $g$ es $\mathcal A$ -Medible.

  El conjunto $D=\left\{x\in\Omega\mid f(x)\neq g(x) \right\}$ está contenida en un conjunto de medida cero, por lo que es medible. Como $$g(x)=f(x)\mathbf 1_{\Omega\setminus D}(x) +g(x)\mathbf 1_D (x),$$ basta con demostrar que la función $h\colon x\mapsto g(x)\mathbf 1_D (x)$ es $\mathcal A$ medible. Para ello, dejemos que $A_t :=\left\{x\in\Omega\mid h(x)\lt t \right\}$ . Si $t\leqslant 0$ entonces $A_t\subset D$ por lo que $A_t$ está contenido en un conjunto de medida cero y es $\mathcal A$ -Medible. Si $t\gt 0$ entonces $A_t=\left(\Omega\setminus D\right) \cup\left(D\cap \left\{x\in\Omega\mid g(x)\lt t \right\}\right)$ que es la unión de dos conjuntos medibles (el segundo porque está contenido en $D$ por lo tanto contenida en un conjunto de medida cero).