podría alguien por favor explique esta prueba para mí? $d(x^2)=2xdx+dxdx$

Question

Sé que $d(xy)=ydx+xdy$ $d(x^2)=2xdx+dxdx$
Quiero calcular el $d(x^3)$$d(x^4)$??
¿alguien puede explicar cómo puedo calcular? y ¿cuál es el nombre de esta regla?
Saludos

Answer 1

Lo que usted ha indicado--$d(x^2)=2xdx + dxdx$--no es correcto. Debe ser que $d(x^2)=2xdx$.

Formalmente, sin embargo, si se desea calcular es bastante simple. Se define solamente por la

$$d(f(x_1,x_2,\cdots, x_n)) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i.$$

Answer 2

No sé cómo lo sabes $$ d(xy) = ydx + xdy $$ pero creo que puedo explicar lo que usted quiere saber.

La identidad se cita proviene de pensar en un rectángulo con ancho de $x$ y la longitud de la $y$ que hacer un poco más grande, cambiando $x$ por un minúsculo $dx$ $y$ por un minúsculo $dy$. Entonces el área del nuevo rectángulo es $$ (x+dx)(y+dy) = xy + xdy + ydx + dxdy . $$ Eso significa que el cambio en el área de es $$ d(xy) = xdy + ydx + dxdy . $$ Desde $dxdy$ es el producto de dos pequeños números es muy pequeño, por lo que podemos ignorar. Que le da lo que usted diga que usted sabe. Si usted piensa en una plaza, para que $x=y$ a continuación, se obtiene la fórmula en su título antes de que usted ignore la $(dx)^2$.

Para obtener los resultados que desea, expandir $(x+dx)^3$ y, a continuación, $(x+dx)^4$ usando el teorema del binomio (o simplemente de la escuela secundaria álgebra). Consulte los términos que en cambio son muy pequeñas.

Nota: nada de esto es rigurosa del cálculo formal, pero es la forma de cálculo comenzó, y es una buena manera de entrenar a tu intuición.

Answer 3

Aplicar las reglas de saber de forma recursiva. Estoy escribiendo estas en un muy pedante manera:

$d(x^4) = d(x x^3) = x^3dx + xdx^3 = x^3dx + xd(x x^2) = x^3dx + xx^2dx + x^2dx^2 = 2x^3dx + x^3dx + x^3dx = 4x^3dx$

En general,

$dx^n = nx^{n - 1}dx$ que usted puede demostrar por inducción matemática. Ya sabemos que la regla vale para $n = 1$, así que supongo que tiene de $n = m$, vamos a demostrar que se mantiene también para $n = m + 1$:

$dx^{m + 1} = dxx^m = xdx^m + x^mdx = mx^mdx + x^mdx = (m + 1)x^mdx$

Y por lo tanto debe mantener para cualquier finito $n$. Eso es todo.

Answer 4

Una intuición visual

Recuerde que con $d(f(x))$ queremos decir cuánto $f(x)$ aumenta, si $x$ crece por una pequeña cantidad $dx$. Así, con $d(x^2)$ nos referimos a cuánto el área de un cuadrado de lado a $x$ aumenta, si $x$ crece por una pequeña cantidad $dx$.

La imagen de un cuadrado de lado a $x$. A continuación, "extender" sus lados hacia arriba y rightwards por $dx$$x+dx$. Ahora tienes un poco más grande cuadrado, formado por:

1. la inicial de la plaza
2. dos nuevos largos y delgados rectángulos $x \times dx$ (uno vertical a la derecha de la original de la plaza, una horizontal por encima de él), y
3. un nuevo pequeño $dx \times dx$ plaza en la vertical de la esquina.

Los dos rectángulos y la pequeña plaza se lo mucho que su $x^2$ de aumento como $x$ creció la pequeña cantidad $dx$:

$d(x^2)=2(x~dx)+(dx~dx)$.

¿Qué pasa si usted toma un cubo en lugar de un cuadrado?

Answer 5

Tenga en cuenta que :para encontrar $d(xy)$ $$\Delta(xy)=(x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy=x\Delta y+y\Delta x+\Delta x\Delta y+xy-xy=\\x\Delta y+y\Delta x+\Delta x\Delta y \\$$so when $\Delta y,\Delta x \to 0$ tenemos $$\large d(xy)=xdy+ydx+dxdy\\ x=y\\ \to d(xx)=d(x^2)=xdx+xdx+dx.dx=2xdx+(dx)^2 $$ ahora, para el caso de 1er método de $$d(x^3)$$ $$=d(xx^2)=xd(x^2)+x^2dx+dx.d(x^2)=\\x(2x.dx+(dx)^2)+x^2.dx+dx.((2x.dx+(dx)^2)=\\2x^2.dx+x.(dx)^2+x^2.dx+2x(dx)^2+(dx)^3=\\3x^2.dx+3x(dx)^2+(dx)^3$$ segundo método $$\Delta(x^3)=(x+\Delta x)^3-x^3=\\x^3.\Delta x+3x^2.\Delta x+(\Delta x)^3\\\Delta x \to 0 \\d(x^3)=3x^2.dx+3x(dx)^2+(dx)^3$$ entonces usted puede hacer para $d(x^4)$ con dos idea $$d(x^4)=d(x^2.x^2) \space or \space d(x.x^3)$$ o de esta manera $$\Delta(x^4)=(x+\Delta x)^4-x^4=\\4x^3.\Delta x+6x^.(\Delta x)^2+4.(\Delta x)^3+(\Delta x)^4$$