Un criterio para una extensión para ser Galois

Question

Este es un ejercicio dado durante mi curso de Álgebra Conmutativa. He llegado a resolver sólo el "si" de la flecha, pero no el "sólo si". La pregunta es:

Deje $F\subseteq L$ ser un número finito de grados de la extensión de los campos, decir $[L:F]=n$, y considerar la $L-$álgebras $L\rightarrow L\otimes_{F}L$, dado por $a\mapsto a\otimes 1$, e $L\rightarrow L^{n}$, dado por $a\mapsto (a,\ldots,a)$. A continuación, $L|F$ es una extensión de Galois si y sólo si $L\otimes_{F} L\simeq L^{n}$, donde el isomorfismo es una iso de $L-$álgebras.

Ahora, tengo que probar el "$\Leftarrow$" implicación. Sé que la forma explícita de la iso sólo en el primer factor de producto tensor, porque sé que la iso deben de viajar con la $L-$estructura de álgebra de mapas, por lo tanto, dice $\psi$ la iso, debemos tener $\psi(a\otimes 1)=(a,\ldots,a)$. Pero no sé cómo la iso trabajar en un segundo factor diferente de $1$. También sé que se Galois significa que el campo fijo debe coincidir con $F$, o que la extensión es normal y separables, o que $L$ es una división de campo de un separables polinomio con coeficientes en $F$, o que el orden del grupo de Galois $G$ de la extensión debe ser $n$. He argumentado que cualquier elemento de a $\sigma$ de Galois grupo debe dar lugar a un conmutativo el diagrama de tipo:

$$\begin{array} AL\otimes_{F}L & \stackrel{\psi}{\longrightarrow} & L^{n} \\ \uparrow{f} & & \uparrow{g} \\ L^{G} & \stackrel{\sigma}{\longrightarrow} & L^{G} \end{array}$$

donde $f$ $g$ son las restricciones del mapa estructural, pero no sé cómo demostrar con esto que la $L^{G}=F$. Gracias por tus sugerencias.

Answer 1

Es un buen ejercicio para calcular $L \otimes_F F(a)$ primera, donde $a \in L$ es un elemento. El resultado es $\prod_i L[x]/(f_i^{v_i})$ donde $f = \prod_i f_i^{v_i} \in F[x]$ es el polinomio mínimo de a $a$ $f_i$ son sus factores irreducibles sobre $L$. Por cierto, esto también demuestra directamente a $\Rightarrow$. Y demuestra que el $a$ es separable iff $L \otimes_F F(a)$ es reducido (es decir, no tiene nilpotent elementos con la excepción de $0$).

Supongamos ahora que $L \otimes_F L \cong L^n$. Entonces esto $L$-álgebra es reducido. Para cada $a \in L$ el subalgebra $L \otimes_F F(a)$ también es reducido, por lo tanto $a$ es separable. Esto demuestra que $L/F$ es separable. Por el primitivo elemento teorema, tenemos $L=F(a)$ algunos $a \in L$. A continuación, $L^n \cong L \otimes_F L \cong \prod_i L[x]/(f_i)$ con la anterior notación. Ahora está claro que el $f_i$ son lineales, por lo que el $f$ se divide completamente en $L$. Esto demuestra que $L/F$ es normal.