Este es un ejercicio dado durante mi curso de Álgebra Conmutativa. He llegado a resolver sólo el "si" de la flecha, pero no el "sólo si". La pregunta es:
Deje $F\subseteq L$ ser un número finito de grados de la extensión de los campos, decir $[L:F]=n$, y considerar la $L-$álgebras $L\rightarrow L\otimes_{F}L$, dado por $a\mapsto a\otimes 1$, e $L\rightarrow L^{n}$, dado por $a\mapsto (a,\ldots,a)$. A continuación, $L|F$ es una extensión de Galois si y sólo si $L\otimes_{F} L\simeq L^{n}$, donde el isomorfismo es una iso de $L-$álgebras.
Ahora, tengo que probar el "$\Leftarrow$" implicación. Sé que la forma explícita de la iso sólo en el primer factor de producto tensor, porque sé que la iso deben de viajar con la $L-$estructura de álgebra de mapas, por lo tanto, dice $\psi$ la iso, debemos tener $\psi(a\otimes 1)=(a,\ldots,a)$. Pero no sé cómo la iso trabajar en un segundo factor diferente de $1$. También sé que se Galois significa que el campo fijo debe coincidir con $F$, o que la extensión es normal y separables, o que $L$ es una división de campo de un separables polinomio con coeficientes en $F$, o que el orden del grupo de Galois $G$ de la extensión debe ser $n$. He argumentado que cualquier elemento de a $\sigma$ de Galois grupo debe dar lugar a un conmutativo el diagrama de tipo:
$$\begin{array} AL\otimes_{F}L & \stackrel{\psi}{\longrightarrow} & L^{n} \\ \uparrow{f} & & \uparrow{g} \\ L^{G} & \stackrel{\sigma}{\longrightarrow} & L^{G} \end{array} $$
donde $f$ $g$ son las restricciones del mapa estructural, pero no sé cómo demostrar con esto que la $L^{G}=F$. Gracias por tus sugerencias.
