¿Cuál es el valor máximo de la LCM de tres números de $\leq n$, como una función de la $n$?

Question

Dado $n \geq 3$, lo máximo LCM de cualquiera de los tres números de $\leq n$ podemos obtener?

Ahora, si $n$ es impar, la respuesta sería $$n(n - 1)(n - 2)$$ debido a $\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}$ $$\begin{align*} \lcm(a, b, c) &= \lcm(a, \lcm(b, c))\\\\ &= \lcm\left(a, \frac{bc}{\gcd(b, c)}\right)\\\\ &=\frac{abc}{\gcd(b, c) \gcd(a, \frac{b c}{\gcd(b, c)})} \end{align*}$$

Ahora, si $b = a + 1$ $c = a + 2$ donde $a$ es impar, entonces $$\gcd(a, c) = \gcd(a, a + 2) = 1$$ Además, sabemos que el $\gcd(a, a + 1) = 1$ cualquier $a$. Podemos simplificar el fórmula como $$\begin{align*} \frac{abc}{\gcd(b, c) \gcd(a, \frac{b c}{\gcd(b, c)})} &= \frac{a (a + 1) (a + 2)}{1 \cdot \gcd(a, \frac{b c}{1)})}\\\\ &= \frac{a (a + 1) (a + 2)}{\gcd(a, bc))} \end{align*}$$

También, a partir de, $a$ $b$ son coprime y $a$ $c$ son coprime, debemos tener $a$ $bc$ coprime demasiado, es decir, $\gcd(a, bc) = 1$. Así, el valor máximo de la LCM por extraño $n$ sería $$n (n - 1)(n - 2)$$

Ahora, ¿cómo debo proceder para que incluso los $n$?

Answer 1

Si $n$ es incluso y $\ge 4$, y no divisible por $3$, el uso de $n(n-1)(n-3)$.

Si $n$ es par y divisible por $3$, el uso de $(n-1)(n-2)(n-3)$.