Tengo que pensar en una métrica que haga de (0,1) un intervalo no limitado

Question

No sé ni por dónde empezar a responder a esta pregunta.

Answer 1

El truco está en hacer $0$ y $1$ infinitamente distantes (aunque ninguno de ellos pertenezca al intervalo). Consideremos el mapa $f\colon(0,1)\to\mathbb R$ , $x\mapsto \frac1x$ y que $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ . Entonces $d(\epsilon,1-\epsilon) $ se vuelve arbitrariamente grande.

Answer 2

Piensa en cualquier homeomorfismo de $(0,1)$ à $\mathbb{R}$

Un difeomorfismo de $\mathbb{R}$ à $(0,1)$ sería $$ x\mapsto \frac{1}{2}\cdot \frac{x}{1+ |x|}+\frac{1}{2}$$

Así que el difeomorfismo de $(0,1)$ $$\frac{2y-1}{y}=2-\frac{1}{y}$$ para $x\in (0,\frac{1}{2})$ y $$\frac{1-2y}{2y-2}$$ para $x\in [\frac{1}{2},1)$