Prueba $\frac{2 \sin x}{3}+\frac{\tan x}{3} > x$ $x \in (0, \frac{\pi}{2})$

Question

Por favor, ayuda

Demostrar $\frac{2 \sin x}{3}+\frac{\tan x}{3} > x$

$x \in (0, \frac{\pi}{2})$

Answer 1

Dejando $f(x)=2\sin x+\tan x-3x$, luego se diferencian. Obtendrá la respuesta.

$$f^{\prime}(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos^2 x}-3=\frac{2\cos^3 x-3\cos^2 x+1}{\cos^2 x}=\frac{(\cos x-1)^2(2\cos x+1)}{\cos^2 x}$$

Answer 2

Vamos $$f(x)=\frac23\sin x+\frac13\tan(x)-x.$$ We have $f(0)=0$. If we show that $f'(x)>0$ for $x\in(0,\pi/2)$, it follows that $f$ is increasing in this interval, and since it takes the value $0$ at $0$, va a ser positivo como sea necesario.

Tenemos $$ f'(x)=\frac23\cos x+\frac13\sec^2x-1. $$ Again, $f'(0)=0$, so it is enough to show $f"(x)>0$ for $x>0$. This shows $f'$ es creciente, por lo que es positivo.

Por último, tenemos $$f''(x)=-\frac23\sin x+\frac23\sec^2x\tan x. $$ Again, $f"(0)=0$. Also, if $x\in(0,\pi/2)$, then $$f''(x)=\frac23\sin(x)(\sec^3(x)-1)>0,$$ since $\cos(x)>0$ en este intervalo.

Answer 3

Este es el fortalecimiento óptimo, $\lambda = 2$ $\tan x \geq x$ $(0,\pi/2)$ a $$\tan x \geq x + \lambda (x - \sin x) .$$ A moment with computer software will convince you that $\frac{\tan x - x}{x - \sin x}$ has minimum value of $2$ at $x=0$, con el positivo de alimentación de la serie de coeficientes, incluso de grado, y sabiendo que uno podría escribir un no-equipo de prueba de la diferenciación, si se desea, que la desigualdad es verdadero y óptimo.

Answer 4

Se puede diferenciar ambos lados y demostrar que la derivada es mayor que $1$ sobre el intervalo dado. Además, usted sabe que ambos lados eqaul $0$$x=0$, y cuando la mano izquierda crece más rápido, será más grande.