Derivan $\kappa(t)=\frac{\lvert \boldsymbol{a}(t) \times \boldsymbol{v}(t) \rvert}{v^3(t)}$ directamente en lugar de probarlo.

Question

Deje $\boldsymbol{r}(t)$ ser una curva parametrizada. A continuación, $$\boldsymbol{\hat{T}}=\frac{\boldsymbol{r'}(t)}{\lvert \boldsymbol{r'}(t) \rvert }$$

$$\boldsymbol{\hat{N}}=\frac{\boldsymbol{\hat{T}'}(t)}{\lvert \boldsymbol{\hat{T}'}(t) \rvert } $$

$$\frac{d\boldsymbol{\hat{T}}}{ds}=\frac{\lvert \boldsymbol{\hat{T'}}(t) \rvert}{v(t)} \boldsymbol{\hat{N}}=\kappa(t)\boldsymbol{\hat{N}}$$

$$v(t)=\frac{ds}{dt}$$

$$\kappa(t) \equiv \frac{\lvert \boldsymbol{\hat{T'}}(t) \rvert}{v(t)} $$

$$\kappa(t)=\frac{\lvert \boldsymbol{a}(t) \times \boldsymbol{v}(t) \rvert}{v^3(t)}$$

He visto algunas pruebas de la última fórmula. Pero sin embargo me pregunto si es posible deducir esta fórmula directamente. Creo que tengo que aclarar que mi intención: Supongamos que usted sabe la definición de curvatura, como en la tercera ecuación, pero no sabe la fórmula para la curvatura como en la última ecuación. Entonces, alguien le pide que dé una fórmula para la curvatura en términos de $\boldsymbol{r}(t)$ y sus derivados. Cómo iba a continuar, y cómo iba a encontrar esta última ecuación? Creo que esto tiene que venir de algún sitio...

Bueno, yo tengo otro, estrechamente vinculados, pregunta: ¿hay una fórmula para $$\frac{d\boldsymbol{\hat{T}}}{ds}$$ in terms of $\boldsymbol{r}(t)$ y sus derivados?

Answer 1

Dado $$\frac{|d\boldsymbol{\hat{T}}|}{ds}= \frac{|d\boldsymbol{\hat{T}}|}{dt} \frac{dt}{ds}=\kappa(s)$$

Ya sabemos $\boldsymbol{r}'(t)=\boldsymbol{T}(t)=\frac{ds}{dt} \boldsymbol{\hat{T}}(t)$

Es fácil ver si diferenciamos ambos lados con respecto a $t$, vamos a obtener algún tipo de relación en la curvatura.

$$\boldsymbol{r}''(t)=\frac{d^2 s}{dt^2}\boldsymbol{\hat{T}}(t)+\kappa v^2\boldsymbol{\hat{N}}$$

Vemos que la segunda derivada del vector de posición es relativa a la curvatura en la fórmula de arriba. Para hacerlo más limpio, queremos eliminar la unidad vector tangente, podemos hacer esto por el cruce con el vector tangente $\boldsymbol{r}'(t)$

$$\boldsymbol{r}'(t)\times\boldsymbol{r}''(t)=\frac{d^2 s}{dt^2}\boldsymbol{r}'(t)\times\boldsymbol{\hat{T}}(t)+\kappa v^2\boldsymbol{r}'(t)\times\boldsymbol{\hat{N}}$$

Ya que el producto cruz de vectores paralelos es el vector cero,

$$\boldsymbol{r}'(t)\times\boldsymbol{r}''(t)=\kappa v^3 \boldsymbol{\hat{B}}(t)$$

Tomando la norma de ambos lados,

$$\kappa(t)=\frac{||\boldsymbol{r}'(t)\times\boldsymbol{r}''(t)||}{v(t)^3}$$

Para tu segunda pregunta, con nuestra expresión de arriba,

$$\boldsymbol{r}''(t)=v'(t)\boldsymbol{\hat{T}}(t)+v(t)\frac{d\boldsymbol{\hat{T}}(t)}{dt}$$

Reorganización,

$$\frac{d\boldsymbol{\hat{T}}(t)}{ds}=\frac{v(t)\boldsymbol{r}''(t)-v'(t)\boldsymbol{r}'(t)}{v(t)^3}$$