Conjugar Las Representaciones

Question

Hay resultados generales en cuando conjugado representaciones de una real Mentira álgebra son equivalentes? Me siento inclinado a decir que ellos no son a menudo, pero esto es simplemente ir en mi caso por caso de la experiencia.

En particular, si sabemos que la fundamental y antifundamental representaciones de la Mentira de álgebra no equivalentes, podemos deducir que todos los conjugado representaciones son? Creo que esto debería ser posible, pero no puede empezar con una prueba.

Alguien ha conseguido (a) algunos consejos para ayudarme a comenzar o (b) una buena referencia de lo que podría ser capaz de guiarme a través de un problema?

Yo realmente no sé en la actualidad, si esto es trivial o difícil, por lo que cualquier consejo sería muy apreciada.

Answer 1

Cualquier hermitian producto interior en un espacio vectorial complejo $V$ da un isomorfismo entre el$\bar V$$V^*$. Además, si $V$ tiene un hermitian interior del producto que es preservado por la representación de la Mentira de grupo/algebra, entonces esto le da un isomorfismo de las representaciones entre el$\bar V$$V^*$. Por lo tanto, en tales casos, usted está preguntando acerca de las representaciones de auto-dual (que es equivalente a la representación de tener un invariante de la forma bilineal).

Para la semi-simple Mentira grupos, cada representación tiene un invariante hermitian producto interior (la representación proviene de la simplemente conectado compacto de forma real y puedes promedio en este grupo para conseguir un invariante de hermitian producto interior-- ver Weyl es unitaria truco).

Usted puede determinar si una representación de un semi-simple Mentira álgebra es la auto-dual mediante el uso de pesas. Si $\mu$ es el peso más alto de $V$, el mayor peso de $V^*$ $-\omega_0 V$ donde $\omega_0$ es el único elemento de la Weyl asignación de grupo la positiva Weyl cámara de su negativa. El elemento $\omega_0$ $-1$ para los grupos $SU(2)$, $SO(2n+1)$, $Sp(n)$, y $SO(4n)$. Así que para todos estos grupos,$V \simeq V^* (\simeq \bar V)$. Una referencia de esta es la sección 6.4 (y ejercicios) de Sepanski del Compacto de la Mentira de los grupos.