Si $a\in\mathbb{R}$ , $f\colon(a,\infty)\to\mathbb{R}$ es una función dos veces diferenciable, y $M_0$ , $M_1$ y $M_2$ son los límites mínimos superiores de $|f(x)|$ , $|f'(x)|$ y $|f''(x)|$ entonces $M_1^2\leq 4M_0M_2$ .
Esto se deduce del teorema de Taylor, pues tomando un intervalo $(x,x+2h)$ para algunos $x$ y cualquier $h>0$ existe alguna $\xi\in(x,x+2h)$ tal que $$ f(x+2h)=f(x)+2hf'(x)+2h^2f''(\xi). $$ Reorganización de espectáculos $$ f'(x)=\frac{1}{2h}(f(x+2h)-f(x))-hf''(\xi)\implies |f'(x)|\leq hM_2+\frac{M_0}{h}. $$ El límite se mantiene si $M_0$ o $M_2$ es igual a $0$ , si no es así, tomar $h=\sqrt{M_0/M_2}$ da el límite.
Tengo curiosidad, ¿esta liga también funciona si $\mathbf{f}$ es una función con valor vectorial, $\mathbf{f}(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))$ ? He intentado aplicar el mismo argumento con el teorema de Taylor a cada coordenada, con la esperanza de encontrar una ecuación similar $\mathbf{f}(x+2h)=\mathbf{f}(x)+2h\mathbf{f}'(x)+2h^2\mathbf{f}''(\xi)$ pero se quedó atascado ya que el respectivo $\xi_i$ para cada $f_i$ es posiblemente diferente. ¿Sigue siendo válido el límite, o existe un posible contraejemplo? Gracias.
