Mostrar que un conjunto no vacío de enteros que es cerrado bajo la resta también debe ser cerrado bajo la adición

Question

Así que esto es lo que tengo hasta ahora:

Sea X un conjunto no vacío de enteros

Deje $a,b\in X$ y tenemos que mostrar que $a+b\in X$

Debido a $b\in X$ y X es cerrado bajo la resta, de $b-b\in X$

Una vez más, por cierre bajo la resta $b-(b-b)\in X$

Desde $a\in X$ así, por cierre bajo la resta, $a-[(b-b)-b]\in X$

$a-[(b-b)-b]=a-(b-2b)=a-(-b)=a+b$

$\therefore a+b\in X$

Pero, ¿cómo puedo demostrar que el conjunto vacío es cerrado bajo la adición de bien?

Answer 1

Iba a ayudar a mejorar la legibilidad de su argumento de que si te dice algo como esto:

$1.$ Deje $b$$X$. A continuación,$b-b$$X$. Por lo $0$$X$.

$2.$ Porque $0$$X$, para cualquier $b$ $X$ tenemos $0-b$$X$. Por lo $-b$$X$.

$3.$ Cualquier $a$ $b$ en $X$, $a+b=a-(-b)$, así que por $(2)$, $a+b$ es en $X$.

Answer 2

En la quinta línea, creo que se supone que tienen un $(b-b)-b\in X$; de lo contrario, el argumento está bien. El conjunto vacío es vacuously cerrado bajo la suma: no hay ningún contraejemplo a la declaración de que si $x,y\in\varnothing$ ,$x+y\in\varnothing$, simplemente porque el antecedente es que nunca es verdad.

Answer 3

Cualquier declaración de la forma $\forall x(x\in A\rightarrow\varphi(x))$ es vacuously true si $A$ está vacía.

En este caso tenemos la declaración de $\forall x(x\in A\rightarrow(\forall y(y\in A\rightarrow x+y\in A)))$, para cada $x$ $y$ $A$ su suma es $A$. Como el anterior, dice, este es automáticamente cierto cuando $A=\varnothing$ porque $x\in\varnothing$ es falsa y la implicación es, por tanto, verdadera.

Answer 4

Teorema: Vamos a $\varnothing \subsetneq A \subseteq \mathbb{Z}$ ser cerrado bajo la resta. Entonces también es cerrado bajo la suma.

Prueba: vamos a demostrar que: $a \in A \Longrightarrow (-a)\in A$.

Por $A$ es no vacío, entonces existe algún $n \in A$.

Por $A$ ser cerrado bajo la resta $(n - n) \in A$. Es decir, $0 \in A$.

Considerando $n \in A$ tenemos que por $A$ ser cerrado bajo la resta $(0 - n) \in A$. Es decir, $-n \in A$.

Por lo tanto: $a \in A \Longrightarrow (-a)\in A$

Ahora teniendo en cuenta $n, m \in A$ tenemos que $-m \in A$ y $A$ ser cerrado bajo la resta $(n - (-m)) \in A$. Es decir, $(n + m) \in A$.

$\blacksquare$

Para $A = \varnothing$ consideramos que el condicional:

$n, m \in A \Longrightarrow (n+m) \in A$.

Porque el antecedente es falso (que es la parte: $n, m \in A$) de la totalidad de la declaración es siempre cierto.

Para obtener más información sobre cómo encontrar el valor de verdad de un condicional leer [esta].1