Área de la superficie de intersección de las superficies

Question

Encontrar el área de la superficie de la porción del cono $z^2=x^2+y^2$ que está dentro del cilindro $z^2=2y$.Yo sé cómo se escribe la ecuación paramétrica de simple superficies y calcular el área,pero ¿cómo podemos encontrar el área "elemento" en situaciones como esta.

Me han resuelto esta pregunta, pero un poco más la pregunta, han venido en mi mente.

1. Puede el área de la superficie formada por la intersección se calcula a través de la superficie de las integrales?(significa es que no hay ningún método general para escribir su ecuación paramétrica)
2. Es el área de superficie de interior igual al área exterior?(significa que el área dentro de una bola y fuera de ella)
3. Si sí, entonces puede 1. ser resuelto mediante el cálculo de área de dos superficies por separado y, a continuación, agregarlos?

Answer 1

En una situación como esta, por lo general se utiliza la simetría para centrarse en la mitad superior del cono, con la ecuación de $z=\sqrt{x^2+y^2}$. El área del elemento, en este caso simplemente es $$\sqrt{1+|\nabla z|^2}\,dx\,dy = \sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}}\,dx\,dy = \sqrt{2}\,dx\,dy \tag1$$ La integración ocurre en el transcurso de la región de $x^2+y^2\le 2y$, que es un disco cerrado de radio $2y$.

Es broma, es un disco de radio $1$ con el centro en $(1,0)$. De modo que la integral es $\sqrt{2}$ veces $\pi 1^2$. Y sí, esta era la mitad de la superficie original, por lo que la respuesta final es $2\sqrt{2}\pi$.

Puede el área de la superficie formada por la intersección se calcula a través de la superficie de las integrales?(significa es que no hay ningún método general para escribir su ecuación paramétrica)

Esa es la única [cálculo] forma para calcular el área de la superficie: $$A(S)=\iint_A 1\,dS = \iint |r_u\times r_v|\,du\,dv$$ El de arriba es un caso especial, con los parámetros de $u$$v$$x,y$.

Es el área de superficie de interior igual al área exterior?(significa que el área dentro de una bola y fuera de ella)

Yo no tengo ni idea de lo de dentro y fuera de aquí. Pero el área por encima de $z=0$ es igual al área debajo de ella, por la simetría.

Si sí, entonces puede 1. ser resuelto mediante el cálculo de área de dos superficies por separado y, a continuación, agregarlos?

Eso es lo que hice anteriormente.