Cómo demostrar a $\int_{0} ^{1}{\sqrt{1-x^4}dx}=\frac{1}{12}\sqrt {\frac{2}{\pi}}(\Gamma\left(\frac{1}{4}\right))^2$?

Question

Para probar ,

$$\int_{0} ^{1}{\sqrt{1-x^4}dx}=\frac{1}{12}\sqrt {\frac{2}{\pi}}(\Gamma\left(\frac{1}{4}\right))^2$$

Cuando se sustituye $x^4$ con t

obtenemos la ecuación $$\frac{1}{4}\int_{0}^1t^{\frac{-3}{4}}(1-t)^{\frac{1}{2}}dt$$ la expresión se encuentra en los formularios de la beta funciones, Pero no soy capaz de resolver por delante.

Answer 1

$$I=\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 1 } t^{ \frac { -3 }{ 4 } }(1-t)^{ \frac { 1 }{ 2 } }dt$$

Ahora, sobre el uso de Beta de la función, obtenemos $$I=\frac { 1 }{ 4 } B\left( \frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 3 }{ 2 } \right) $$

Ahora, usamos la relación de la Beta y gamma de la función. $$I=\frac { 1 }{ 4 } \frac { \Gamma \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \Gamma \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }{ \Gamma \left( \frac { 7 }{ 4 } \right) } $$

Ahora, utilizamos la fórmula: $\Gamma \left( n+1 \right) =n\Gamma \left( n \right) $

$$I=\frac { 1 }{ 4 } \frac { \Gamma \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \times \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { 3 }{ 4 } \Gamma \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) } $$

Utilizamos este valor: $\Gamma \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =\sqrt { \pi } $

$$I=\frac { \sqrt { \pi } }{ 6 } \frac { \Gamma \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }{ \Gamma \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) } $$

$$I=\frac { \sqrt { \pi } }{ 6 } \frac { { \left( \Gamma \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \right) }^{ 2 } }{ \Gamma \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \Gamma \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) } $$

Ahora, por Euler Reflexión de la Fórmula, obtenemos $$I=\frac { \sqrt { \pi } }{ 6 } \frac { { \left( \Gamma \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \right) }^{ 2 } }{ \frac { \pi }{ \sin { \left( \frac { \pi }{ 4 } \right) } } } $$

$$\boxed{\therefore \int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { 1-x^{ 4 } } dx } =\frac { 1 }{ 12 } \sqrt { \frac { 2 }{ \pi } } { \left( \Gamma \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \right) }^{ 2 }}$$