Motivación del (iso)morfismo de variedades

Question

Estoy leyendo los apuntes del curso de geometría algebraica, donde un morfismo de variedades se define como sigue ( $k$ es un campo algebraicamente cerrado):

Dejemos que $X$ sea un cuasi-afín o cuasi-proyectivo $k$ -y que $Y$ sea un cuasi-afín o cuasi-proyectivo $k$ -variedad. Un mapa $f:X\to Y$ se llama morfismo de $k$ -variedades si $f$ es continua, y si para cada subvariedad abierta $U$ de $Y$ y toda función regular $f:U\to k$ la composición $h\circ f$ es una función regular en $f^{-1}(U)$ .

Me cuesta ver la motivación de esta definición. La noción anterior de morfismo parece implicar que la "estructura" de una variedad (lo que la distingue de un mero conjunto) es la siguiente:

• Una topología, la topología de Zariski, que es extremadamente gruesa (débil) comparada con la topología euclidiana en el caso $k=\mathbb{C}$ .
• Para cada Zariski-abierto $U\subseteq X$ una especificación de qué funciones $U\to k$ se consideran "agradables", es decir, regulares.

Dado que esta es, efectivamente, la estructura que queremos asignar a una variedad, estoy de acuerdo con la noción de morfismo anterior. En particular, veo que dos variedades son isomorfas exactamente cuando su estructura es "la misma" (de modo que la diferencia entre ellas es sólo que sus puntos tienen nombres diferentes).

Sin embargo, no veo por qué las dos viñetas anteriores captan con precisión lo que queremos que capten. De hecho, no sé cuándo quiere para considerar dos variedades como isomorfas, y por qué. No sé por qué queremos que las curvas definidas por $x^2+y^2=1$ y $x^2+y^2=2$ que se consideren isomorfos, pero no el plano afín y el plano afín puntuado (salvo que se trate de la definición que trato de motivar, y de mostrar que no existe ningún isomorfismo algebraico, pero eso no es esclarecedor). Lo que sí sé es que en la categoría de variedades lisas: Espero que dos esferas sean difeomorfas porque puedo estirar una suavemente para que coincida exactamente con la otra. Espero que una esfera y un toro no sean difeomorfos porque, por mucho que lo intente, no puedo estirar la esfera y hacerla coincidir con un toro.

Otro ejemplo: la línea afín y la cúspide no son isomorfas, y la diferencia radica exactamente en la singularidad de la cúspide (su... bueno, cúspide). ¿Es esto lo que queremos codificar, el comportamiento de las variedades cerca de las singularidades (sospecho que es sólo una parte de lo que queremos codificar)? ¿Queremos que dos variedades sean isomorfas si hay una biyección bicontinua entre ellas que mapea las singularidades a las singularidades del mismo tipo? (Aquí no sé qué quiero decir con el "tipo" de una singularidad, y de hecho ni siquiera sé qué quiero decir exactamente con una singularidad). Espero que las variedades isomorfas tengan singularidades "análogas" en los puntos correspondientes, pero supongo que la estructura de una variedad es más que esto (de hecho, no todas las variedades lisas son isomorfas).

¿Qué hacemos? quiere la estructura de una variedad para implicar intuitivamente? ¿Qué información intuitiva/geométrica está codificada en la "estructura", como se indica en los puntos anteriores?

Editar. Quiero saber qué está codificado en la estructura de una variedad a un nivel vago e intuitivo. No requiero una justificación matemática de las respuestas en absoluto (no es necesario probar que es lo que codificamos).

Answer 1

El punto de Mariano Suárez-Alvarez sobre la comprensión de la intuición a medida que se aprende más la teoría es correcto, pero me gustaría dar una respuesta parcial para ayudar a guiar su intuición. Después de todo, es posible pasar meses o años aprendiendo geometría algebraica y salir con poca intuición de lo que es todo el tema.

En primer lugar, las variedades algebraicas son espacios geométricos que se parecen localmente a las variedades afines. En este sentido, la teoría se desarrolla de forma similar a, por ejemplo, la teoría de los colectores, en la que un colector se define como un espacio que es localmente euclidiano. Por supuesto, esto limita el estudio local de los colectores: dos colectores cualesquiera son localmente isomorfos. No es así en el caso de las variedades algebraicas, ya que existe una gran variedad de variedades afines.

Así que creo que deberías empezar restringiendo tu pregunta a las variedades afines. Y la clave es que las variedades afines están completamente determinadas por su anillo de funciones globalmente regulares. En otras palabras, dos subconjuntos cerrados (irreducibles) del espacio afín son isomorfos si podemos encontrar un "cambio de variables" global que identifique las funciones regulares globales en los dos espacios. Reescalado $(x,y) \mapsto (\sqrt{2}x,\sqrt{2}y)$ produce el isomorfismo entre $x^2+y^2=1$ y $x^2+y^2=2$ .

Voy a modificar tu no ejemplo (porque $\mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ no es afín) y explicar por qué $\mathbb{A}^1$ y $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ no son isomorfos. Sus anillos de funciones regulares son $k[T]$ y $k[T,T^{-1}]$ respectivamente, que no son isomorfas. Así que no puede haber "cambios de variables" que identifiquen los dos espacios.

Una advertencia importante: cuando digo que hay un "cambio de variables" global de $X \subset \mathbb{A}^n$ y $X' \subset \mathbb{A}^{n'}$ Estoy hablando de usar mapas polinómicos que están restringidos de los respectivos espacios afines, pero sólo necesitan ser definidos en los espacios $X$ y $X'$ . Por ejemplo $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ (visto como $t \neq 0$ ) y $xy=1$ son isomorfos a través de $t \mapsto (t, 1/t)$ y $(x,y) \mapsto x$ . Por supuesto, $1/t$ sólo es un cambio de variables válido cuando $t \neq 0$ pero, afortunadamente, sólo nos fijamos en los puntos en los que $t \neq 0$ .

La historia global es similar, salvo que no podemos limitarnos a comparar funciones globales regulares. (Por ejemplo, las únicas funciones globalmente regulares en cualquier variedad proyectiva son las funciones constantes, aunque intuitivamente debería haber muchas variedades proyectivas diferentes hasta el isomorfismo). Así que ahora necesitamos un "cambio de variables" global para que las funciones regulares en las piezas locales coincidan con las funciones regulares en las piezas locales correspondientes.

No estoy seguro de que esta explicación sea la que busca. La geometría algebraica es una teoría muy orientada a las funciones. Comparamos espacios observando las funciones en ellos. Este enfoque también se puede aplicar a los colectores. Pero en el caso de los colectores también tenemos la intuición de cuáles son los posibles cambios de variables ("estiramiento" y "torsión" y similares). En la geometría algebraica es mucho más difícil contar esa historia porque las variedades algebraicas son mucho más diversas. Todavía hay algunas intuiciones básicas como que no se puede tener un isomorfismo entre una variedad suave y una variedad singular porque los isomorfismos dan lugar a isomorfismos (de espacios vectoriales) de espacios tangentes. Pero hay lotes de posibles singularidades, y llegar a ellas es un importante proyecto en curso en el campo. Por ejemplo, se pueden estudiar a fondo las curvas planas y aprender a distinguir las singularidades en este caso (utilizando ampliaciones). Pero entonces descubrirás rápidamente que las singularidades en las superficies son más complicadas y las de las variedades de mayor dimensión aún más complicadas y difíciles de entender.

Answer 2

Un teorema con el que te habrás encontrado es el conjunto de morfismos $X \to Y$ , para $X$ y $Y$ afín está en biyección canónica con el conjunto de homomorfismos $A(Y) \to A(X)$ de sus anillos de coordenadas. En particular, hasta el isomorfismo, existe un único variedad afín con un anillo de coordenadas dado (siempre que ese anillo tenga realmente la forma adecuada para aparecer como anillo de coordenadas, es decir, un álgebra reducida de generación finita sobre el campo base $k$ ). De forma más general, si $Y$ es afín pero $X$ puede no serlo, los morfismos $X \to Y$ vienen dados por los homomorfismos de anillos de $A(Y)$ al anillo de funciones regulares globales sobre $X$ .

La razón de esto es que hemos definido Las variedades afines tienen la estructura suficiente para ser controladas por sus anillos de coordenadas. La topología de Zariski y la definición de morfismo son sólo formas de formalizar esto. Ahora bien, no todas las variedades son afines, pero todas son localmente afín, así que de nuevo, un morfismo de variedades $X \to Y$ puede considerarse como un conjunto de homomorfismos de anillos de coordenadas afines de subconjuntos afines de $Y$ que coinciden en las intersecciones necesarias. Una variedad afín puede considerarse como un objeto geométrico y una función polinómica sobre ese objeto geométrico.

Bajo este punto de vista, la razón por la que la recta afín y una curva cuspidal no son isomorfas es que sus anillos de coordenadas no son isomorfos. El anillo de coordenadas de la recta es simplemente $k[t]$ pero, por ejemplo, el anillo de coordenadas $k[x,y]/(y^2 - x^3) \cong k[t^2,t^3]$ de la curva cuspidal $y^2 - x^3$ en $\mathbb{A}^2$ se diferencia por no estar integralmente cerrado. Es decir, hay una función racional (aquí $y/x$ ) que se comporta como una función regular en la curva, pero que no tiene sentido como función regular cuando se extiende al plano. El no isomorfismo entre los dos anillos de coordenadas te habla precisamente de la cúspide y de los diversos problemas que provoca.

En este punto, hay dos motivaciones. Una es que muchas construcciones geométricas tienen buenas definiciones algebraicas. Por ejemplo, las acciones de pasar a una subvariedad cerrada u omitir una subvariedad cerrada, que en términos de la topología de Zariski son simplemente tomar subconjuntos abiertos y cerrados, corresponden respectivamente a tomar un cociente o una localización de un anillo. Incluso este sencillo ejemplo muestra por qué es bueno tener la estructura algebraica: mientras que es obvio cómo debería ser una subvariedad cerrada sobre $\mathbb{C}$ Si se trata de resolver polinomios sobre campos distintos de los topológicos, se perderá la imagen de la solución. Si te preocupas por resolver polinomios sobre campos que no sean $\mathbb{C}$ se necesita una teoría que imite las características geométricas de $\mathbb{C}$ (y por tanto permite hablar de dimensión, vectores tangentes, suavidad, etc.) sin utilizar su topología analítica.

Un ejemplo algo más complicado es planicidad . Un homomorfismo de anillo $R \to S$ es plana si, siempre que $M \to N$ es una inyección de $R$ -módulos, $S \otimes_R M \to S \otimes_R N$ es una inyección de $S$ -módulos. Serre descubrió que esta condición algebraica ligeramente arcáica es en realidad la mejor manera de hablar de las deformaciones de las variedades. En concreto, dado un morfismo $f:X \to Y$ de variedades, se puede pensar en las distintas fibras $f^{-1}(y)$ para $y \in Y$ para que sean deformaciones entre sí; si el morfismo corresponde localmente a un homomorfismo de anillo plano, entonces estas deformaciones se comportan realmente bien (tendrán todas la misma dimensión, etc.).

Si estás interesado en resolver ecuaciones polinómicas sobre campos, esto debería ser suficiente motivación. Este es un tema fascinante en sí mismo, por supuesto. Por ejemplo, la fórmula de Serre GAGA estableció profundas relaciones entre la geometría algebraica de las variedades sobre $\mathbb{C}$ y su geometría analítica como colectores; afirmaciones como el último teorema de Fermat son naturalmente afirmaciones sobre soluciones de polinomios sobre campos; y he oído que las soluciones de polinomios sobre campos finitos son importantes para la criptografía moderna, entre otras cosas.

Si esto no es suficiente, aquí está la segunda pieza de motivación. Aunque no te importen las variedades, hay muchas razones para preocuparse por anillos . Las variedades pueden considerarse versiones más agradables de los anillos, que podemos unir y utilizar la intuición geométrica, y algunas afirmaciones puramente sobre anillos pueden demostrarse limpiamente en el lenguaje de las variedades. La única advertencia es que sólo algunos anillos aparecen como anillos de coordenadas afines de variedades afines. Por ejemplo, si está interesado en la teoría de los números o en las ecuaciones diofánticas, es posible que quiera estudiar anillos que no sean álgebras sobre cualquier campo; otras áreas de las matemáticas dan lugar de forma natural a anillos no etéreos, que entonces no surgen como álgebras finitamente generadas sobre campos. Un programa importante de Grothendieck en los años 60, que ha influido mucho en la geometría algebraica actual, fue generalizar las variedades a objetos más generales, llamados esquemas que hacen para los anillos arbitrarios lo que las variedades hacen para las álgebras reducidas de generación finita sobre un campo. Ahora bien, un esquema es mucho más difícil de imaginar que una variedad, pero puede ser tremendamente útil para aplicar algún tipo de intuición geométrica a anillos arbitrarios.

Así que, en resumen, las variedades tienen anillos adjuntos dados por los polinomios 'definidos en' esa variedad, y se supone que un morfismo de variedades tira de los polinomios en su codominio de vuelta a los polinomios en su dominio (que la respuesta de Michael Joyce explicó bastante bien). La estructura de una variedad está pensada para codificar precisamente esta información, y así permitirnos utilizar nuestra intuición geométrica sobre campos en los que el razonamiento analítico ya no es posible. En términos más generales, la definición de esquemas nos permite utilizar esta intuición geométrica para entender anillos arbitrarios.

La geometría algebraica es un campo antiguo, amplio y fascinante, y te garantizo que si sigues estudiándola, encontrarás alguna idea clave que ponga todo esto en contexto y haga que todo tenga sentido para ti personalmente. Unas cuantas buenas fuentes para comenzar ese viaje son los libros de Harris Geometría algebraica: Un primer curso (para el punto de vista centrado en la variedad), Hartshorne's Geometría algebraica y el excelente notas en línea (si te interesan los esquemas), y el de Eisenbud y Harris La geometría de los esquemas (sólo después de haber adquirido un poco de experiencia -- intenta proporcionar motivación e intuición geométrica para muchas ideas sobre los esquemas). ¡Mucha suerte con ello!