Títulos de filas y de columnas

Question

Deje $a,b\in\mathbb N$ ser coprime. Mediante la manipulación con la matriz $\operatorname{diag}(a,b)$, prueban que el grupo cíclico $Z_{ab}$ es isomorfo a la suma directa de $Z_a\oplus Z_b$.

Supongo que debería obtener la matriz de $\operatorname{diag}(1,ab)$ a partir de la matriz de $\operatorname{diag}(a,b)$ primaria (entero) de la fila y de la columna de operaciones (que puede ser realizado por un teorema de la forma normal de Smith), pero no sé cómo hacer eso ya que los $a,b$ no es invertible, por lo que no puedo multiplicar las filas/columnas por ellos.

Answer 1

Ciertamente, puede multiplicar las filas y las columnas $a$$b$, si todo lo que hacemos es agregar que varios a otra fila o columna. Menos críptica: $$ \det\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 $$ de modo que es seguro para multiplicar por él. Sin embargo, primero vamos a $s,t\in\Bbb Z$, para que $sa+tb=1$, que se puede hacer porque son coprime. Así, considere la posibilidad de $$ \begin{pmatrix} s & -t \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & tb \\0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sa & -tb \\ ba & ab \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & tb \\0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -tb \\ 0 & ab \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & tb \\0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & ab \end{pmatrix} $$ donde hemos multiplicado desde la izquierda y desde la derecha sólo por invertible matrices.

Answer 2

Sugerencia: Para obtener ese $1$ en la diagonal, el uso de la identidad de Bezout: existen enteros $u, v$ tal que $ua+vb=1$.