(Una transformación lineal $T : V \rightarrow V$ es descomponible si $V$ puede ser escrito como la suma directa de dos adecuada $T$-subespacios invariantes)
Algunos antecedentes para esta pregunta: he sido más de álgebra lineal recientemente, con la intención de impulsar el estándar de teoremas y pruebas para su bare essentials, para que yo pueda tener una idea de cuando una propiedad es "necesaria" y cuando sólo es "suficiente".
Por ejemplo, el teorema que establece que "Cada finito de dimensiones interiores espacio del producto $V$ induce un isomorfismo natural $V \rightarrow V^*$, dado por $v \mapsto <v,->$" no tiene nada que ver con la simetría o de la totalidad del poder de la certeza positiva. Así que esta puede ser generalizada a partir de un producto interior de un no-degenerada forma bilineal. Sin embargo, este teorema no dependen de lo finito dimensionalidad de $V$, por lo que cualquier prueba debe hacer uso de esta propiedad.
Ahora he estado tratando de demostrar el siguiente teorema (o encontrar un contraejemplo). "Dado que el $V$ es un espacio vectorial, y $T : V \rightarrow V$ es una transformación lineal con al menos dos autovalores. A continuación, $T$ es descomponible".
Este teorema puede ser probado para el finito dimensionales caso, considerando la Frobenius forma normal de la matriz de $T$, pero esta prueba usa explícitamente la propiedad de finito de dimensionalidad. He intentado duro para producir una más general de la prueba en la que no usa la finitud, o un contador de ejemplo, en el caso infinito, pero me siento como si hubiera golpeado una pared de ladrillo.
Cualquier ayuda sería muy apreciada, así que gracias de antemano.