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Es cada transformación lineal con al menos dos autovalores degradables?

(Una transformación lineal $T : V \rightarrow V$ es descomponible si $V$ puede ser escrito como la suma directa de dos adecuada $T$-subespacios invariantes)

Algunos antecedentes para esta pregunta: he sido más de álgebra lineal recientemente, con la intención de impulsar el estándar de teoremas y pruebas para su bare essentials, para que yo pueda tener una idea de cuando una propiedad es "necesaria" y cuando sólo es "suficiente".

Por ejemplo, el teorema que establece que "Cada finito de dimensiones interiores espacio del producto $V$ induce un isomorfismo natural $V \rightarrow V^*$, dado por $v \mapsto <v,->$" no tiene nada que ver con la simetría o de la totalidad del poder de la certeza positiva. Así que esta puede ser generalizada a partir de un producto interior de un no-degenerada forma bilineal. Sin embargo, este teorema no dependen de lo finito dimensionalidad de $V$, por lo que cualquier prueba debe hacer uso de esta propiedad.

Ahora he estado tratando de demostrar el siguiente teorema (o encontrar un contraejemplo). "Dado que el $V$ es un espacio vectorial, y $T : V \rightarrow V$ es una transformación lineal con al menos dos autovalores. A continuación, $T$ es descomponible".

Este teorema puede ser probado para el finito dimensionales caso, considerando la Frobenius forma normal de la matriz de $T$, pero esta prueba usa explícitamente la propiedad de finito de dimensionalidad. He intentado duro para producir una más general de la prueba en la que no usa la finitud, o un contador de ejemplo, en el caso infinito, pero me siento como si hubiera golpeado una pared de ladrillo.

Cualquier ayuda sería muy apreciada, así que gracias de antemano.

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Spencer Puntos 48

Suponemos que i) o ii) es verdadera

i) $V$ tiene dimensión finita y $T$ tiene al menos $2$ distintos autovalores de a $K$.

ii) $V$ tiene dimensión infinita y (*) no es $P(x)=(x-a)^r(x-b)^sQ(x)\in K[x]$ s.t. $a,b\in K,P(T)=0,Q(a)\not= 0,Q(b)\not= 0$ $T$ no cancelar una estricta divisor de $P$.

A continuación, $V$ $T$- degradables.

Prueba. Para i), la condición (*) también está satisfecho. Los polinomios $(x-a)^r,(x-b)^s,Q(x)$ son parejas prime; a continuación,

$V=\ker((T-aI)^r)\oplus[\ker((T-bI)^s)\oplus \ker(Q(T))]$ y hemos terminado.

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