Injectiveness y surjectiveness de $f$ e de $g$, respectivamente, de la composición,$g\circ f$.

Question

a) Si $f: E \to F$ $g: F \to E \ $ son funciones tales que $g \circ f$ es inyectiva, entonces $f$ es inyectiva

b) Si $f: E \to F$ $g: F \to E \ $ son funciones tales que $g \circ f$ es surjective, a continuación, $g$ es surjective.

Prueba:

a) Asumir la $g \circ f$ es inyectiva pero $f$ no es inyectiva. Entonces no existe $x_1, x_2 \in E$ tal que $x_1 \neq x_2$ pero $f(x_1) = f(x_2)$. A continuación,$g(f(x_1)) = g(f(x_2))$. Desde $g\circ f$ es inyectiva, $x_1 = x_2$, es una contradicción! Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

b) Suponga $g \circ f$ es surjective sino $g$ no es surjective. Entonces existe $e_1 \in E$ tal que $e_1 \neq g(z)$ todos los $z \in f$. Desde $g\circ f$ es surjective, existe $x_1 \in E$ tal que $g(f(x_1)) = e_1$. Pero esto es una contradicción con la hipótesis de que la $g$ no es surjective, ya $f(x_1) = y_1 \in F$! Por lo tanto, $g$ es surjective.

Es aquí todo correcto o ¿me equivoco en algún lugar? Si alguien tiene un limpiador de prueba se lo agradecería, ya que aún no se lo he convencido a mí misma de la validez de la escribí anteriormente.

Answer 1

Está bien, pero se puede hacer de forma más directa.

Deje $f(x_1)=f(x_2)$.

A continuación,$(g\circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(f(x_2))=(g\circ f)(x_2)$, por lo que la inyectividad de $g\circ f$ nos dice que $x_1=x_2$.

Demostrado es que el $f$ es inyectiva.

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Deje $e\in E$.

Desde $g\circ f$ es surjective tenemos $g(f(x))=(g\circ f)(x)=e$ algunos $x$.

Eso significa que $g$ debe ser surjective.

Answer 2

1) Inyectividad ha sido tratada.

2) Surjectivity:

$f: E \rightarrow F$; $g: F \rightarrow E.$

Demostrar que:

Si $g \circ f$ es surjective, a continuación, $g$ es surjective:

$g\circ f$ : $E \rightarrow E.$

Deje $e_2 \in E$, entonces,

desde $g \circ f$ surjective, hay un $e_1 \in E$ tal que

$(g\circ f)(e_1)=g(f(e_1))=e_2$, es decir,

hay un elemento $z= f(e_1) \in F$ con

$g(z)=e_2$, por lo tanto surjective.