¿Por qué la primera ley de Newton no puede expresarse como un transporte autoparalelo en el espacio?

Question

Estoy siguiendo esta serie de conferencias sobre geometría diferencial y relatividad general. En la conferencia vinculada (Conferencia 9), alrededor de 23:48, el profesor Frederic Schuller concluyó que no se puede expresar la primera ley de Newton como un transporte autoparalelo en el espacio pero sí en el espacio-tiempo, es decir, no existe tal $\Gamma$ tal que la siguiente ecuación sea válida: $${-g^{\alpha}[x(t)]}~=~{{\Gamma}^{\alpha}_{{\beta}{\gamma}}[x(t)]{\dot{x}}^{\beta}(t){\dot{x}}^{\gamma}(t)}, \qquad \alpha=1,2,3.\tag{1}$$ ¿Alguien podría explicarme por qué es así? Si pudieras proporcionar una imagen intuitiva sería aún mejor.

Answer 1

En la pregunta se menciona la primera ley de Newton, sin embargo, en la clase 9 se habla de la segunda ley de Newton. La estructura de esta última no permite la descripción del transporte paralelo. La razón es que la gravedad en general depende del punto, por lo que una lectura de transporte paralelo de Newton es válida solo en una región muy limitada del espacio-tiempo. En la clase se da un ejemplo de un objeto cayendo en el Polo Norte en comparación con un objeto cayendo en el Polo Sur; no hay manera de encontrar un sistema de coordenadas para describir ambos como un transporte paralelo.
Un caso diferente es la primera ley de Newton cuando no hay gravedad, es decir, la fuerza newtoniana es cero. En ese caso, los $\Gamma'$ también son cero y el transporte paralelo se reduce a la ecuación de línea recta en un espacio euclidiano.

Answer 2

Si conoces RG esta pregunta puede incomodarte, ya que una partícula puntual relativista en un campo gravitatorio de hecho sigue geodésicas (que es un tipo especial de autoparalelas) en el espacio tiempo.

Pero el diablo está en los detalles: el Prof. Schuller está hablando sobre autoparalelas en el espacio, no en el espacio tiempo. Y él argumenta que la aceleración gravitatoria $\vec{g}$ (que depende de la posición, no de la velocidad) no puede ser emulada por un término cuadrático en la velocidad, como se necesita en la ecuación autoparalela, cf. la ecuación (1) del OP.

Más tarde, en 36:06 en la misma conferencia 9, el Prof. Schuller considera la misma pregunta en el espacio tiempo (en contraposición a el espacio), y muestra que una partícula puntual en un campo gravitatorio sigue una autoparalela en el espacio tiempo: En la gauge estática $x^0=t$ del espacio tiempo la aceleración gravitatoria $g^{\alpha}$ puede ser reproducida a través del nuevo sector $\Gamma^{\alpha}_{00}\dot{x}^0 \dot{x}^0$.