¿Cómo podemos reconciliar estas dos definiciones categoriales de los conos?

Question

Bartosz Milewski describe dos definiciones de conos, como se usa en la definición de los límites. En primer lugar, tenemos la más directa, pointwise enfoque:

Elegir un índice de la categoría $I$ y un functor $D : I \to C$. Un cono es un objeto $c \in C$ llamado el ápice , junto con una familia de morfismos $\alpha_i : c \to D \, i$ (para cada una de las $i \in I$) de tal forma que si $f : i \to j$ es una flecha en $I$$\alpha_j = D \, f \circ \alpha_i$.

Observamos que podemos reemplazar este con un simple definición basada en las naturales transformaciones:

Elegir un índice de la categoría $I$ y un functor $D : I \to C$. Un cono es una transformación natural $\alpha : \Delta_c \to D$ donde $\Delta_c : I \to C$ es una constante functor.

(La fuente general para este videos es 1.2, 2.1 y 2.2 en la Categoría de Teoría II lista de reproducción; no tengo una indicación de la hora exacta.)

Esto tiene sentido para mí en el caso de que $I$ no está vacía: la connaturalidad de la condición en la segunda definición es exactamente equivalente a la conmutatividad de las condiciones en la primera definición.

Pero, ¿qué ocurre cuando el índice de la categoría $I$ no tiene objetos, y por lo $D : I \to C$ es el vacío/absurdo functor? Entonces, nuestra primera definición nos pide escoger un ápice $c$ junto con no morfismos, por lo que una de cono es simplemente un objeto en $C$. Todo bien. Nuestra segunda definición nos obliga a elegir una constante functor de $I$ $C$- podemos hacerlo; este también será el absurdo functor. Pero entonces no hemos especificado ningún objeto en $C$! ¿Qué sucede con el apex?

Esta distinción es, por supuesto, es necesario, porque necesitamos de $I = \mathbf 0$ a hablar de la terminal de objetos como límites.

En YouTube un comentario acerca de esta cuestión, Bartosz dice:

Este es uno de esos trucos de matemáticas. Una constante functor siempre produce un solo objeto, no importa cuántos objetos hay en la categoría de fuente. Así que es natural suponer que lo hace el mismo con una categoría vacía. Esa es la mejor explicación que yo podría venir para arriba con la parte superior de mi cabeza. Véase, por ejemplo, https://ncatlab.org/nlab/show/terminal+objeto

Francamente, estoy tampoco muy contento con esta respuesta, y usted puede notar que hice un poco de doble toma durante la conferencia. Siéntase libre de publicar una pregunta en la pila de sobrecarga.

(...así que aquí estoy!)

A lo largo de este camino: nLab dice que "en Un terminal el objeto también puede ser visto como un límite sobre el diagrama vacío", pero nLab la definición de los conos de más de un diagrama es demasiado complicado para mí, para determinar si es equivalente a la primera definición, la segunda definición, o ninguno. (Se requiere de la construcción de la categoría de $\operatorname{cone}(J)$ de los conos de más de $J$ como cocomma categoría, y yo todavía no entienden lo que coma y cocomma categorías -, y preferiría no tener que contestar a esta pregunta. Todo a su debido tiempo).

La transformación natural de la versión de la definición parece mucho más "categórico"; ¿cómo podemos resolver la incongruencia cuando el índice de la categoría está vacía?

Answer 1

Gran pregunta! Nunca me había dado cuenta de cómo a menudo las personas distorsionar la transformación natural de definición de los conos de antes. Felizmente, se administra correctamente en el nLab artículo que enlaza. Dado $D:I\to C$, un cono sobre $D$ está dado por una extensión de $D$ para el cono categoría de yo-pero no hay necesidad de preocuparse acerca de lo que un cocomma objeto. Por definición, una extensión de $D$ $\mathrm{cone}(I)$es un par de $(c,\alpha:\Delta_c\to D)$. Aquí $\Delta_c$ se define, no como la constante functor en $c$-que no tiene sentido cuando se $I$ está vacía-pero como la composición de la $i_c\circ p_I$ donde $p_I: I\to *$ es el único functor de $I$ a la categoría con un objeto y una de morfismos y $i_c:*\to C$ es la inclusión de $c$.

Esto resuelve el problema de $I=\emptyset$. Mientras que en el caso de $\Delta_c$ es siempre el vacío functor, los datos de un cono también se especifica $c$ por separado. La razón, como puede ser ahora claro, que la gente en general no es este preciso es que $\Delta_c$ determina la $c$ siempre $I$ es no vacío. Pero como nota, los conos de largo vacía diagramas son muy importantes, así que no es un inocente simplificación!

Answer 2

Sin duda, el error aquí es en la definición de la constante functor. Por ejemplo, mira nlab la definición de la función constante

... una función constante de $S$ $T$con valor de $x$ es la función de $f$ definido por $$f(a) = x $$ for every element $un$ of $S$.

Nota, en particular, de que el valor de $x$ es parte del tipo. Esto no definir "función constante", se define a la "función constante con valor de $x$".

Incluso cuando $S$ es el conjunto vacío, todavía recordamos el único valor que una función constante con valor de $x$ toma ese valor es $x$.

Esto es similar a la cuestión de la construcción de Conjunto donde se pueden expresar los elementos de $\hom(S,T)$ como subconjuntos particulares de $S \times T$; es decir, por la gráfica de la función. Sin embargo, los gráficos no recuerdo el codominio; por lo que si queremos hablar en general de las flechas de Conjunto, necesitamos agrupar todo el codominio, junto con el gráfico. Es decir, una flecha de Conjunto es un par $(\Gamma, T)$ donde $\Gamma$ es la gráfica de una función de $S \to T$.

Lo mismo pasa aquí, si queremos hablar en general de la constante de funciones, se debe agrupar el valor junto con la función. Una función constante, por lo que debe ser un par de $(x, f)$ tal que $f$ es constante con valor de $x$.

Hacerlo correctamente recuerda el valor, incluso en el caso de que el dominio está vacía.

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Yo sostengo la definición de la constante functor debe ser de la misma manera; que la constante es parte del tipo. Incluso cuando el dominio de la functor está vacía, la "correcta" de la definición de la constante functor aún recuerda lo que el valor que toma.

El uso de la noción de derecho de la constante functor debe dar la correcta noción de cono, incluso para los diagramas de vacío.