Deje que $a, b,c$ números complejos tales que $a + b + c =0$ y $a^n + b^n + c^n =0$ para algunos enteros $ n \geq 2$ . Entonces dos de ellos tienen los mismos valores absolutos. Intento un método recursivo pero no funciona. ¿Puede darme una idea? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
qwertz
Puntos
16
Empezamos con el siguiente Lemma.
Para las raíces $z_i$ de polinomios $$ \begin {align} P_k(z)&= \left (z+ \frac {1}{2} \right )^{2k}+ \left (z- \frac {1}{2} \right )^{2k}+1 \\ Q_k(z)&= \left (z+ \frac {1}{2} \right )^{2k+1}- \left (z- \frac {1}{2} \right )^{2k+1}-1 \end {align} $$ con un número entero $k>0$ al menos una de las siguientes afirmaciones es válida: $$ \left |z_i- \frac {1}{2} \right |=1,\; \left |z_i+ \frac {1}{2} \right |=1, \text { or } \Re (z_i)=0 \tag {1}. $$
Obsérvese que ambos polinomios son de grado $2k$ y en consecuencia han $2k$ raíces complejas. El lema de $P_k(z)$ se demostró recientemente en otro lugar . Los ceros del polinomio $Q_k(z)$ sin tener en cuenta dos triviales reales $ \pm\frac {1}{2}$ que obviamente satisfacen la condición (1), tienen exactamente la misma estructura (incluyendo el carácter especial de las raíces $ \pm\frac {i \sqrt3 }{2}$ ) como los ceros de $P_k(z)$ que se puede probar de la misma manera (se deja como ejercicio).
Considere ahora las ecuaciones: $$ a+b+c=0, \quad a^n+b^n+c^n=0. $$
Sin perder la generalidad, podemos asumir que ninguno de los dos $a,b,c$ es $0$ . De hecho, si uno de ellos, dice $c$ es cero, la afirmación sigue trivialmente. En sustitución de $a$ de la primera ecuación a la segunda, se obtiene: $$ (-b-c)^n+b^n+c^n=0,\; \text { or }\; T_k(z):= \left (-z- \frac {1}{2} \right )^{n}+ \left (z- \frac {1}{2} \right )^{n}+1=0, $$ donde $z= \frac {b}{c}+ \frac {1}{2}$ se introdujo. Obsérvese que en términos de $z$ la reclamación: $$ \left | \frac {a}{b} \right |=1, \text { or } \left | \frac {b}{c} \right |=1, \text { or } \left | \frac {c}{a} \right |=1$$ se traduce en: $$ \left | \frac {z+ \frac {1}{2}}{z- \frac {1}{2}} \right |=1, \text { or } \left |z- \frac {1}{2} \right |=1, \text { or } \left |z+ \frac {1}{2} \right |=1,$$ la primera de las igualdades es equivalente a $ \Re (z)=0$ .
Por lo tanto, la reclamación se deriva directamente de las identidades $T_{2k}(z) \equiv P_k(z)$ y $T_{2k+1}(z) \equiv -Q_k(z)$ .
