Problema de evaluación de una integral de contorno mediante parametrización

Question

He intentado resolver la siguiente integral de contorno: $$ \oint_\gamma {\frac{{dz}}{{z - c}}} $$ Dónde $\gamma$ es un disco centrado en el origen. Para ello, he utilizado la siguiente parametrización: $$ \begin{array}{l} z &= Re^{i\varphi }, \qquad 0 < \left| R \right| \ne \left| c \right| \\ dz &= iRe^{i\varphi } d\varphi \end{array} $$ Sustitución en la integral del contorno: $$ \begin{array}{l} \oint_\gamma {\frac{{dz}}{{z - c}}} &= \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{iRe^{i\varphi } }}{{Re^{i\varphi } - c}}} d\varphi \\ &= \left. {\ln \left( {Re^{i\varphi } - c} \right)} \right|_0^{2\pi } \\ &= \ln \left( {Re^{i2\pi } - c} \right) - \ln \left( {Re^{i0} - c} \right) \\ &= \ln \left( {R - c} \right) - \ln \left( {R - c} \right) \\ &= 0 \end{array} $$ Sin embargo, por el teorema del residuo la integral de contorno debe ser igual a $2\pi i$ si $\left| R \right| > \left| c \right|$ mientras que en la respuesta obtenida por parametrización el valor es siempre $0$ .

Mi pregunta es: ¿Qué me estoy perdiendo aquí? ¿Dónde está mi error? Gracias de antemano.

Answer 1

Estás asumiendo que hay una función diferenciable $\ln$ de $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ en $\mathbb C$ tal que $\ln'(z)=\frac1z$ . No lo hay.

Answer 2

Porque no hay rama de logaritmo en $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ , por lo que su función no tiene antiderivada. Esa es una gran diferencia entre el análisis real y el complejo: no puedes tomar las funciones reales elementales y utilizarlas en el plano complejo. El logaritmo es una función que requiere una rama.