Si $f(x)^2=x+(x+1)f(x+2)$, lo $f(1)$?

Question

Supongamos que $f$: $\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}$ y $f(x)^2 = x + (x+1)f(x+2)$, lo $f(1)$? O, más en general, ¿cuál es $f(x)$?

La motivación detrás de este problema es que quiero encontrar lo que el número de este anidada radicales $\sqrt{1+2\sqrt{3+4\sqrt{5+6\sqrt{7+8...}}}}$. Esto se puede escribir de forma más general como $f(x)=\sqrt{x+(x+1)f(x+2)}$ donde $x=1$. Aquí es donde surge el problema. Si alguien puede encontrar una expresión para el anidada radical o encontrar $f(x)$ yo sería muy feliz!

Answer 1

Escribir la ecuación para obtener $f(x+2)=(f(x)^2-x)/(x+1)$. Por lo tanto usted puede definir $f$ arbitrariamente en el intervalo de $[0,2)$, y la extendemos a $[0,4)$ mediante el uso de la ecuación. Y así sucesivamente. La elección de $f$ continua en $[0,2)$ tal que $\lim_{x\to 2}f(x)=f(0)^2$ da (todos) continuo de la solución. Por lo tanto el valor de $f(1)$ no juega ningún rol en particular.

Answer 2

El funcional de la ecuación de $f(x)$ realidad implica funcional las relaciones también para todos sus derivados $$ \left\{ \matriz{ f(x)^{\,2} = x + \left( {x + 1} \right)f(x + 2) \hfill \cr 2f(x)f'(x) = 1 + f(x + 2) + \left( {x + 1} \right)f'(x + 2) \hfill \cr 2f'(x)^{\,2} + 2f(x)f"(x) = 2f'(x + 2) + \left( {x + 1} \right)f"(x + 2) \hfill \cr \quad \quad \vdots \hfill \cr} \right. $$ así que $$ \left\{ \begin{gathered} f(2) = f(0)^{\,2} \hfill \\ f'(2) = 2f(0)f'(0) - f(0)^{\,2} - 1 \hfill \\ f''(2) = 2f'(0)^{\,2} + 2f(0)f''(0) - 4f(0)f'(0) + 2f(0)^{\,2} + 2 \hfill \\ \quad \quad \vdots \hfill \\ \end{reunieron} \right. $$

Por lo tanto, ser $f(x)$ continuo, no somos libres para corregir $f(x)\quad |\;0\le x < 2$ igual a cualquier función continua respetando sólo $f(2)=f(0)^2$.
No se puede, tales como el respeto de la relación funcional, en$x$$x+2$, para todos los derivados.

Answer 3

Aquí se sugiere un enfoque alternativo.

Considere la secuencia recursiva $a_k\in\mathbb{R}$

\begin{eqnarray} a_0&=&\sqrt{1+2\sqrt{3+4\sqrt{5+6\sqrt{7+8\sqrt{9+...}}}}}\\ a_{k+1}&=&\frac{a_k^2+1}{2(k+1)}-1 \tag{1} \end{eqnarray}

Esto le da el aumento desmedido de la secuencia

\begin{eqnarray} a_1&=&\sqrt{3+4\sqrt{5+6\sqrt{7+8\sqrt{9+10\sqrt{11+...}}}}}\\ a_2&=&\sqrt{5+6\sqrt{7+8\sqrt{9+10\sqrt{11+12\sqrt{13+...}}}}}\\ a_3&=&\sqrt{7+8\sqrt{9+10\sqrt{11+12\sqrt{13+14\sqrt{15+...}}}}}\\ &\vdots& \end{eqnarray}

Esto convierte el problema de encontrar $a_0$ en el problema de encontrar una función de la generación de

\begin{equation} G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots \end{equation}

y una fórmula para el término general $a_n$ del coeficiente de secuencia.

Answer 4

Supongamos que la función existe y converge como argumento tiende a infinito. En particular, hay algo de real $x_0 > 0$ $d > 0$ tal que $0 \le f(x) \le d$ todos los $x \ge x_0$. No debe, entonces, también existen algunos $x_1 \ge x_0$ tal que $x_1 > d^2$.

De ello se deduce que para cualquier $x \ge x_1$, tenemos $f(x+2) = (f(x)^2-x)/(x+1) \le (d^2 - x)/(x+1) < 0$, una contradicción.

Así que la función no converge.