¿Por qué son relativistas de las teorías cuánticas del campo mucho más restrictiva que la de los no-relativista?

Question

Parte de la razón por la que relativistas QFT es tan difícil de aprender es que hay montones de "no-go teoremas" que descartar simples ejemplos físicos y la intuición física. Muy común en la respuesta a la pregunta "¿por qué no podemos hacer X más simple, o pensar de esta manera" es ", porque de esta no-go teorema".

Para dar algunos ejemplos, tenemos:

• el Reeh-Schlieder teorema, que me han dicho que prohíbe la posición de los operadores en relativista QFT
• el Coleman-Mandula teorema, el cual prohíbe la mezcla interna y simetrías espacio-tiempo
• Haag teorema, el cual establece que ingenuo interacción de la imagen teoría de la perturbación no puede trabajar
• el Weinberg-Witten teorema, el cual, entre otras cosas, las normas de un conservadas actual de Yang-Mills
• el spin-estadísticas teorema, el cual, entre otras cosas, las normas de fermionic escalares
• el teorema CPT, lo que descarta CPT violación
• el Coleman-Bruto teorema, que establece el sólo asintóticamente libre de la teoría de Yang-Mills

Por supuesto, todos estos teoremas tienen otros supuestos adicionales, que estoy dejando fuera de la brevedad, pero el punto es que la invariancia de Lorentz es crucial supuesto para cada uno.

Por otro lado, nonrelativistic QFT, tal como se practica en física de la materia condensada, no tiene casi tantas restricciones, lo que resulta en mucho más agradable ejemplos. Pero la única diferencia parece ser que funcionan con una rotación del grupo de simetría de $SO(d)$, mientras que los físicos de partículas se utiliza el grupo de Lorentz $SO(d-1, 1)$, apenas un gran cambio. Hay una fundamental, la razón intuitiva que relativistas QFT es mucho más restringido?

Answer 1

Una de las razones por las teorías relativistas son tan restrictiva que es a causa de la rigidez de la el grupo de simetría. De hecho, la (parte homogénea) de la misma es simple, en contraposición a la de los no-relativista de los sistemas, lo que no es.

El grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowskies \begin{equation} \mathrm{Poincar\acute{e}}=\mathrm{ISO}(\mathbb R^{1,d-1})=\mathrm O(1,d-1)\ltimes\mathbb R^d \end{equation} cuya parte homogénea es $\mathrm O(1,d-1)$, el llamado Grupo de Lorentz. Este grupo es simple.

Por otro lado, el grupo de isometría de Galileo espacio+tiempo es \begin{equation} \text{Bargmann}=\mathrm{ISO}(\mathbb R^1\times\mathbb R^{d-1})\times\mathrm U(1)=(\mathrm O(d-1)\ltimes\mathbb R^{d-1})\ltimes(\mathrm U(1)\times\mathbb R^1\times\mathbb R^{d-1}) \end{equation} cuya parte homogénea es $\mathrm O(d-1)\ltimes\mathbb R^{d-1}$, el llamado (homogéneo) Galilei Grupo. Este grupo es no semi-simple (que contiene no trivial de la normal subgrupo, el de alza).

De hecho, hay una clasificación de todos los físicamente admisibles kinematical la simetría de los grupos (debido a Lévy-Leblond), que prácticamente los solteros de Poincaré como el único grupo con las propiedades anteriores. No hay una sola familia de tales grupos, que contiene dos parámetros: el de los Anuncios de radio $\ell$ y la velocidad de la luz $c$ (y todos los de rotación invariante Inönü-Wigner las contracciones de la misma). Mientras $\ell$ es finito, el grupo es simple. Si usted toma $\ell\to\infty$ usted obtener Poincaré, que tiene un no-trivial normal de los subgrupos, el grupo de traducciones (y si el cociente fuera de este grupo, se obtiene un simple grupo de Lorentz). Si usted también toma $c\to\infty$ usted obtener Bargmann (o Galilei), que también tiene un no-trivial subgrupo normal (y si el cociente fuera de este grupo, usted no consigue un simple grupo; por el contrario, consigue Galilei, que tiene un no-trivial normal subgrupo, el de alza).

Otra razón es que el postulado de la causalidad es trivial en la no-relativista de los sistemas (porque no es una noción absoluta de tiempo), pero impone fuertes restricciones en relativista sistemas (porque no hay ninguna noción absoluta de tiempo). Este postulado se traduce en la teoría cuántica a través del axioma de la localidad, $$ [\phi(x),\phi(y)]=0\quad\forall x,y\quad \text{s.t.}\quad (x-y)^2<0 $$ donde $[\cdot,\cdot]$ denota una supercommutator. En la no-relativista de los sistemas de este axioma es vacuo, porque todo el espacio-tiempo de los intervalos son spacelike, $(x-y)^2<0$. En relativista de los sistemas, este axioma es muy fuerte.

Estas dos observaciones se pueden aplicar a los teoremas de citar:

• Reeh-Schlieder depende de la localidad axioma, por lo que no es ninguna sorpresa que ya no se aplica a los no-relativista de los sistemas.

• Coleman-Mandula (véase aquí para una prueba). La rotación de grupo es compacto y por lo tanto se admite finito-dimensional unitario de representaciones. Por otro lado, el grupo de Lorentz no es compacto y por lo tanto la única finito-dimensional unitaria de representación es la trivial. Tenga en cuenta que este es utilizado en el paso 4 en la prueba anterior; es aquí donde la prueba se rompe.

• Haag también se aplica a los no-relativista de los sistemas, por lo que no es un buen ejemplo de la OP del momento. Ver esta PSE post para más detalles.

• Weinberg-Witten. Para empezar, este es el teorema acerca de las partículas sin masa, por lo que no es claro lo que tales partículas incluso en la no-relativista de los sistemas. Desde el punto de vista de las representaciones irreducibles que puede ser significativo, al menos en principio. Pero que no corresponden a la helicidad representaciones (precisamente porque el pequeño grupo de la referencia de impulso no es simple). Por lo tanto, el teorema se rompe (ya que depende de manera crucial de la helicidad representaciones).

• Spin-estadísticas. Como en el Reeh-Schlieder, en la no-relativista de los sistemas de la localidad axioma es vacuo, por lo que no implica ninguna restricción en los operadores.

• CPT. Idem.

• Coleman-Bruto. Yo no estoy familiarizado con este resultado, así que no puedo comentar. Ni siquiera sé si es violado en la no-relativista de los sistemas.

Answer 2

La invariancia de Lorentz es también una indirecta contribuyente a las restricciones que renormalizability lugares en la teoría. La lógica es algo que le gusta este:

1. La acción debe ser invariante de Lorentz, por lo tanto el número de espaciales derivados debe ser igual a la cantidad de tiempo derivados de la acción.
2. Queremos que la Hamiltoniana para jugar el papel de la energía (tiene límite inferior y proporciona estabilidad), por lo tanto, la acción no puede tener más de dos hora de derivados (para más información, consulte: esta respuesta anterior en renormalization).
3. Por 1 y 2, el propagador $\Delta(x,y)$, necesariamente, que divergen como $\left([x^\mu-y^\mu][x_\mu-y_\mu]\right)^{-1}$ $x\rightarrow y$ (lo que es equivalente, el impulso de la forma del espacio se parece a $(p^\mu p_\mu)^{-1}$$p\rightarrow \infty$).

Es que el tercer paso que conduce a las divergencias que requieren renormalization, y renormalizibility es muy restrictiva en lo que en términos de acción se pueden contener. Sin invariancia de Lorentz, podríamos añadir más espaciales derivados sin tiempo de derivados, producir un bien comportado finito propagador, y trabajar con una clase mucho más amplia de teorías.

Concedido, como se discute en los enlaces de respuesta, usted puede relajarse 2, algunos, pero que no permite ninguna teoría, solo más y más.

Answer 3

Aquí está uno (incompleta) de la perspectiva, sobre todo acerca de los infrarrojos:

Para un campo con cargos en virtud de Lorentz y todos los otros tipos de simetrías, no es esencialmente sólo una teoría con cuadrática acción de primer orden en derivados. Para el entero de vueltas es $\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + m^2 \phi^2$, y para la mitad entero de vueltas es $\bar \psi \gamma^\mu D_\mu \psi + m \bar \psi \psi$. Este es un hecho de la teoría de la representación, y el hecho de que todo lo que tiene para contratar el espacio-tiempo de índices de $g_{\mu \nu}$, $\gamma^\mu$, y las cosas con más espacio-tiempo de los índices. Tenga en cuenta que la forma de estas acciones determinan el desnudo propagadores a ser el relativista queridos $1/(p^2 - m^2)$$1/(p-m)$, respectivamente.

Por otro lado, si usted fuera a romper la simetría de Lorentz, dicen que por la elección de un campo de vectores $v^\mu$, entonces usted podría escribir términos como $\phi v^\mu \partial_\mu \phi$, que iba a cambiar la relación de dispersión para $\phi$ a ser lineal en $p$ para el momenta en paralelo a $v$. Tenga en cuenta que para timelike $v$ esto rompe el grupo de Lorentz $SO(1,d)$$SO(d)$.

Para un campo magnético aplicado $F_{ij}$ en fermiones podríamos agregar un plazo$\bar \psi F_{ij} \gamma^i \gamma^j \psi$, lo que puede estropear spin-estadísticas.

Creo que estas nuevas Gaussiano `puntos fijos" causa un montón de cosas para ir wonky (en el IR) al hacer teoría de la perturbación alrededor de ellos.

Por otro lado, no hay muchos términos que pueden llevar a estos seres, y debido a que la mayoría de las teorías que terminan en el estudio de la materia condensada han emergente de la invariancia de Lorentz en el IR. Algunas excepciones importantes son teorías con singular superficie de fermi y otros con `UV/IR" de la mezcla que causan la teoría de campo para ver el entramado.