la aproximación de un conjunto de Borel por una continua

Question

Me pregunto si es posible aproximar un conjunto de Borel por una función continua es decir,

Deje $B$ un conjunto de Borel en $(X,d)$ (compact separable espacio métrico) me pregunto si hay funciones continuas $f_n:X\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f_n\rightarrow\chi_B$ ? Es posible que $f_n\rightarrow\chi_B$ uniforme ?

Nota: $\chi_B$ es la función característica de B.

Cualquier sugerencia es bienvenida, gracias.

Answer 1

Ver el artículo http://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function#Classification_of_Baire_functions en Baire funciones de clase.

Las funciones que son un pointwise límite de una sucesión de funciones continuas son llamados de clase de Baire $1$.

Así que lo que estás preguntando es si cada una de las características de la función de $\chi_B$ de Borel $B$ es de la clase de Baire $1$. El artículo muestra que este no es el caso de $B = \Bbb{Q}$ (ya que sólo se consideran espacios compactos, tome $B = \Bbb{Q} \cap [0,1]$), debido a que, a continuación, $\chi_B$ es discontinua en todas partes, mientras que el conjunto de puntos de continuidad de una clase de Baire $1$ función es una de las $G_\delta$ conjunto con escasos complemento.

Lo que es cierto, sin embargo, es que si dejas $\mathcal{F}$ ser el más pequeño de la clase de funciones que contiene las funciones continuas y que es cerrado bajo pointwise convergencia, a continuación, $\mathcal{F}$ contiene todas las funciones $\chi_B$ $B$ Borel.

Para ver esto, vamos a

$$ \mathcal{M} := \{ B \in \mathcal{B} \mid \chi_B \in \mathcal{F} \}. $$

Es fácil ver que $U \in \mathcal{M}$ para cada una de las $U$ (construir algo con el "dist" de la función). También, uno puede mostrar que $\mathcal{M}$ $\lambda$- sistema. El uso de Dynkin de la $\pi$-$\lambda$-Teorema, llegamos a la conclusión de $\mathcal{M} \supset \sigma(\{U \mid U \text{ open}\}) = \mathcal{B}$.

Answer 2

Sugerencia

Si $f_n\to f$ de manera uniforme, por lo que puede decirse acerca de la continuidad de $f$?