Es la serie de $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{p_{j}}$ donde $p_{j}$ $j$th primer convergente?

Question

¿La serie $\sum_{n=1 }^{\infty}1/p_{j} $ de los recíprocos de los números primos convergen?

Experimentalmente, parece convergente.

Answer 1

Aquí está una fácil prueba de la divergencia de la serie de prime recíprocos, y yo la vi en el American Mathematical Monthly en un pasado milenio. Supongamos por contradicción que la serie converge. Elija $N$, de modo que $$\frac1{P_{N+1}}+\frac1{P_{N+2}}+\cdots\lt1.$$ Entonces $$S=1+\left(\frac1{P_{N+1}}+\frac1{P_{N+2}}+\cdots\right)+\left(\frac1{P_{N+1}}+\frac1{P_{N+2}}+\cdots\right)^2+\cdots$$ es una serie geométrica convergente.

Deje $d=P_1P_2\cdots P_N$ y considerar la serie $$\frac11+\frac1{1+d}+\frac1{1+2d}+\frac1{1+3d}+\cdots$$ que por supuesto se bifurca. Sin embargo, cada denominador $1+nd$, ya que no es divisible por ninguno de la primera $N$ números primos (nota el parecido de Euclides de la prueba), es un producto de números primos $\ge P_{N+1}$. Así, cada plazo $\frac1{1+nd}$ se produce en la serie geométrica $S$ cuando los poderes se han ampliado, es decir, $$\frac11+\frac1{1+d}+\frac1{1+2d}+\cdots\lt1+\left(\frac1{P_{N+1}}+\frac1{P_{N+2}}+\cdots\right)+\left(\frac1{P_{N+1}}+\cdots\right)^2+\cdots\lt\infty$$ y esta contradicción demuestra el teorema.

Si alguien lee esto sabe el origen de esta prueba, por favor, edite la atribución en mi respuesta. Gracias.

Answer 2

En esta respuesta, se muestra que $$ \sum_{\substack{p\le n\\p\text{ prime}}}\frac1p=\log(\log(n))+O(1) $$ y por lo tanto, la suma diverge.