Radon-Nikodym - Martingala

Question

Tengo una pregunta en relación con el punto 3 del siguiente problema:

Deje $(\Omega,\mathfrak{F},\mathbb{P},\mathfrak{(F_n})_{n\in\mathbb{N}})$ ser un filtrado probabilidad de espacio y $\mu$ finito, medida en $\mathfrak{F_\infty}:=\sigma{(\cup_{n=1}^{\infty}\mathfrak{F_n}})$. Supongamos que, para cada $n\geq0$, la medida de $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $\mathbb{P}$$\mathfrak{F_n}$, y denotan por $M_n$ el Radon-Nikodym densidad: $M_n$ es así, no negativo, $\mathfrak{F_n}$-y medibles para cada $A \in \mathfrak{F_n}$,$$\mu(A)=\int_{A}M_n \;d\mathbb{P}$$

1. Demostrar que $(M_n)_{n\geq0}$ es una martingala. (OK, me lo mostró)
2. Demostrar que $(M_n)_{n\geq0}$ converge a.s. para una variable aleatoria integrable $M_{\infty}$. (Ok, me mostró que el uso de un corolario de Doob la martingala teorema de convergencia)
3. Demostrar que $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $\mathbb{P}$ $\mathfrak{F_\infty}$ si y sólo si la martingala $(M_n)$ es cerrado y, que, en este caso $M_{\infty}$ es el Radon-Nikodym densidad.

Tengo un problema con el punto 3. No sé cómo iniciar la prueba sabiendo que $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $\mathbb{P}$$\mathfrak{F_\infty}$. Me gustaría mostrar que $M_n$ es uniformemente integrable (delimitada en $L^1$ ya es bueno, pero $\mathbb{P}$-continua?) porque, a continuación, $M_n$ converge en $L^1$ y esto ayudaría mucho. Pero quizás este es el camino equivocado para atacar el problema. Tal vez alguien sabe la solución.

Gracias de antemano.

Answer 1

• $\Leftarrow$: Suponga que el $(M_n)_n$ es cerrado, es decir, $\mathbb{E}(Y \mid \mathcal{F}_n)=M_n$ para algunos (integrables) variable aleatoria $Y$. Por lo tanto $$\mu(F) \stackrel{\text{Def}}{=} \mathbb{E}(M_n \cdot 1_F) = \mathbb{E}(Y \cdot 1_F)$$ for all $F \in \mathcal{F}_n$, i.e. the measure $F \mapsto \mu(F)$, $F \mapsto \mathbb{E}(Y \cdot 1_F)$ coincide on $\bigcup_n \mathcal{F}_n$. This is a generator of $\mathcal{F}_{\infty}$!
• $\Rightarrow$: Por el Radon-Nikodym teorema existe una $\mathcal{F}_{\infty}$ medibles (positivo) de la variable aleatoria $Y$ tal que $$\mu(F) = \mathbb{E}(Y \cdot 1_F) $$ for $F \in \mathcal{F}_{\infty}$. Hence $$\mathbb{E}(M_n \cdot 1_F)=\mu(F) = \mathbb{E}(Y \cdot 1_F)$$ for $F \in \mathcal{F}_n$, i.e. $\mathbb{E}(Y \mid \mathcal{F}_n)=M_n$.

Por otra parte, sabemos que el $(M_n)_n$ es equi-integrable (desde $M_n = \mathbb{E}(Y \mid \mathcal{F}_n)$), de modo que existe $Z \in L^1(\mathcal{F}_{\infty})$ tal que $M_n \to Z$$L^1$, casi seguramente. Desde $M_n \to M_{\infty}$ casi seguramente, llegamos a la conclusión de $Z=M_{\infty}$. Por la $L^1$-convergencia obtenemos

$$\mathbb{E}(M_{\infty} \cdot 1_F) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(M_n \cdot 1_F) = \mathbb{E}(Y \cdot 1_F)$$

para todos los $F \in \bigcup_n \mathcal{F}_n$ y, por tanto, $M_{\infty} = Y$ casi seguramente (ya que las variables aleatorias son $\mathcal{F}_\infty$medible).