Nota: he intentado formular una serie de pistas para ti, pero con el enfoque que conocen y hacen uso de, pensé que simplemente sería más confuso que nada. Así que aquí está mi prueba de recoger de donde no estás seguro de cómo continuar, si usted todavía está interesado en la prueba.
Como se ha determinado, para una prueba de que es suficiente para mostrar que hay sólo un número finito de soluciones a $|\text{disc}(K)| < N$, donde dejamos $K$ denotar los campos de número y $N \in R$.
Consideremos $K(\sqrt{-1})$. Tenemos dos casos, ya sea la $K = K(\sqrt{-1})$ (es decir, nuestra discriminante se mantiene sin cambios) o $[K(\sqrt{-1}) : K] = 2 $ (es decir, nuestra discriminante cambios por la limitada cantidad). Nos puede, en consecuencia, restringir nuestra atención a $K$ grado $n$$\sqrt{-1} \in K$. A continuación, tenga en cuenta que como hay un número finito de $d \in \mathbb{Z}, 0 \leq d \leq N$, también podemos arreglar $d$.
Así que para nuestro fija $d$$n$, es suficiente para demostrar que hay un número finito de $K \ni \sqrt{-1}$$|\text{disc}(K)| = d$. Observe que en este caso, el espacio de Minkowski es $\mathbb{C}^{\frac{n}{2}}$, y el enrejado es $\phi({\mathscr{O}}_{K})$. Ahora tenemos que encontrar una forma centralizada simétrica, subconjunto convexo tal que para cualquier solución de $K$, existe un no-cero punto en $B \cap L$ donde $B$ es algunos convexo cuerpo. Luego, en función de este cuerpo convexo, vamos a mostrar que hay sólo un número finito de maneras de encontrar la correcta $K$, y, a continuación, mostrar que en $L \cap B$ tenemos que es la imagen de un único $K$.
Deje $B = \{(z_{1}, ..., z_{n/2} : |\mathscr{T}_{m}(z_{1})| < c\sqrt{d},|\mathscr{R}_{e}(z_{1})| < 1 |, |z_{i}| < 1, i = 2, ..., \frac{n}{2}\}$. Ahora coger $L$ lo suficientemente grande para que $\text{vol}(B) \geq 2^{n/2} \cdot \det(L) \geq 2^{n/2}\sqrt{|d|}$. Tenga en cuenta que $c$ depende de $n$$d$, pero no en $K$.
Ahora, dada una solución, sabemos bien los límites en las raíces de su polinomio mínimo, lo que nos da una buena límites en los coeficientes de un polinomio entero. Hay sólo un número finito de tales mínimos de polinomios. Por lo tanto, hay sólo un número finito de imágenes de $K$ asignado a $B\cap L$. Queda por demostrar que una de las $(z_{1}, ..., z_{n/2}) \in B\cap L$ corresponde a un único $K$. Sabemos que $\mathbb{Q}(z_{1}) \subseteq K$. Si $\mathbb{Q}(z_{1}) \neq K$, entonces no existe $i \neq 1$ tal que $\phi_{i}(z_{1}) = z_{i}$. Así que, a continuación, $z_{1} = z_{i}$ algunos $i$, y sabemos que $|z_{i}| < 1$. Esto significa que
$$
\mathbb{N}(z_{1}) = \bigg|\prod_{i=1}^{n/2} z_{i}\bigg| < 1,
$$
lo que es claramente una contradicción. Por lo tanto,$\mathbb{Q}(z_{1}) = K$. Por lo tanto, hay un número finito de $K = K(\sqrt{-1})$ $|\text{disc}(K)| = d$ grado $n$. Por lo tanto, tenemos que hay sólo un número finito $K$$|\text{disc}(K)| < N$, como se desee.
$$ \square $$
