Que otro "exótico" permutación relacionados con la existencia de las cosas?

Question

Algún tiempo publiqué algunas preguntas acerca de la "exótica" exterior automorfismos de a $S_6$, y parte de la respuesta fue una cita de un artículo de T. Y. Lam que dice, entre otras cosas, que el grupo de todos los automorfismos de a $S_6$ tiene exactamente tres subgrupos de índice $2$, y los otros dos no son isomorfos, ya sea para el grupo de interior automorfismos o el uno al otro.

Uno podría pensar que se agota la lista de "exótico" las cosas que se encuentran entre permutación de grupos que actúan sobre conjuntos finitos, ya que se dice que ningún otro finito grupo simétrico tiene cualquier exterior de automorfismos.

Más tarde me parece (sin duda el grupo-teóricos han sabido desde la primera infancia y se sorprendió de que algunos aprenden por primera vez sólo después de obtener su licencia de conducir) que existen seis isomorphisms de $S_5$ a $S_6$ cuyas imágenes son conjugado a cada uno de los otros y actuar de manera transitiva en el conjunto de los seis objetos permutada por los miembros de $S_6$.

Así que mi pregunta es: Que otro "exótico" los objetos se encuentran entre los grupos de bijections finito de conjuntos? Y cómo debe ser la palabra "exóticos", se entiende (que puede no ser en realidad una definición precisa)?

Answer 1

En cierto sentido, de la exótica $S_6$ es único. En un relajado por completo la interpretación de lo exótico, de cualquier grupo con un trivial exterior automorphism se ajustan a la ley. Tratando de encontrar un término medio, tal vez te interesaría estudiar algo como el simple grupo de orden $168$. Tiene una permutación de la representación en el $7$ puntos. El estabilizador de un punto es isomorfo a $S_4$ hay $7$ subgrupos isomorfo a $S_4$. Pero espera, hay más. Hay $7$ otros subgrupos también isomorfo a $S_4$ que no son punto de stablilizer (que no actúa transitivamente sobre $7$ puntos, pero en los subconjuntos de tamaño $3$$4$.) Y, de hecho, hay un exterior automorphism que los mapas de los dos conjuntos a cada uno de los otros.