¿Cómo puedo demostrar que toda función que es real para todos los $z\in \mathbb C$ $Im(z)=0$ o $\pi$ $2\pi i$ periódico?

Question

Tengo toda una función de $f$ que toma valores reales de todos los números complejos con la imaginaria $0$ o $\pi$. Estoy tratando de mostrar que $f$ es periódica con período de $2\pi$. He intentado utilizar la de Cauchy-Riemann ecuaciones, pero fue en vano. ¿Cómo debo enfocar este problema?

Answer 1

Como toda función de $\overline{f(\overline z)}-{f(z)}$$=0$$z\in\Bbb R$, esto también se aplica para $z\in\Bbb C$. Por lo tanto, $f(a+i\pi)=\overline{f(a-i\pi)}=f(a-i\pi)$. Pero, a continuación, $f(z-\pi i)-f(z+\pi i)$ es todo y $=0$$\Bbb R$, por lo tanto en $\Bbb C$.