Son pequeñas bolas en un espacio métrico cuasi-simétrico a una bola compacta conectada?

Question

Estoy tratando de resolver un problema, pero estoy atascado. Tal vez alguien me puede ayudar.

Voy a denotar todas las métricas en cada espacio métrico por $d$ y voy a utilizar cerrado bolas, lo que denota con la letra $B$, por lo que para $x\in X$ $r>0$ $$B(x,r)\colon=\lbrace y\in X\:\colon \: d(x,y)\leq r\rbrace.$$ A el problema: deje $X$ ser un espacio métrico y deje $V$ ser una bola compacta dentro de un grupo de Carnot $G$, dotado con la habitual CC métrica. Suponga que existe un cuasi-simétrico homeomorphism $f\colon V\longrightarrow X$.

Pregunta: Son lo suficientemente pequeñas bolas en $X$ conectado? Es decir, ¿existe una constante $K>0$ tal que todas las bolas de radio $\leq K$ $X$ están conectados?

Intuitivamente creo que la respuesta debería ser que sí: $V$ es una bola cerrada dentro de un grupo de Carnot y por lo tanto es compacto, conectado, simplemente se conecta es decir, muy agradable. $X$ no sólo es homeomórficos a $V$ pero también es cuasi-simétrico equivalente. No puede ser que feo, ¿verdad? Todos los "casos graves" no puedo pensar en no tener compacto límite.

He intentado utilizar que cuasi-simétrico de los mapas de manera uniforme perfecto espacios se $\alpha$-Hölder continua para algunos $\alpha\in (0,1]$:

$\textbf{Lemma:}$ Supongamos que $X$ es limitado y de manera uniforme perfecto espacio métrico. Deje $f\colon X\longrightarrow Y$ ser un quasisymmetric homeomorphism. Entonces existen constantes $A,B\geq 1$ $\alpha\in (0,1]$ tal que $$ \frac{1}{A}d(x,y)^{1/\alpha}\leq d(f(x), f(y))\leq Bd(x,y)^\alpha.$$

Desde conectado espacios uniformemente perfecto podemos aplicar esto a nuestra situación para obtener que para cada cerrado balón $B(x,r)$ no es un conjunto conectado a $U$ y una constante de $D$ tal que $$ B(x,\frac{1}{D}r^{1/\alpha^2}) \subset U\subset B(x,r).$$ No estoy seguro de que este es el enfoque correcto como yo no puede hacer ningún progreso desde aquí. Soy consciente de que desde el espacio métrico compacto, sería suficiente para demostrar que el cierre de cada bola es el cierre de la bola con el mismo radio, para decir que las bolas están conectados. Pero no podía, y yo ni siquiera esperar que cada bola para ser conectado..

¿Alguien tiene otras ideas de que puedo probar? Muchas gracias!

Answer 1

Esto no es cierto incluso en el caso más simple, cuando $G=\mathbb{R}$ $f$ no es sólo quasisymmetric pero bi-Lipschitz.

Voy a tomar mi bola sea el intervalo de $[0,1]$ $\mathbb{R}$ y tome $X$ a ser la gráfica de una función de Lipschitz $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$. A continuación, la tendencia a la baja de la proyección de $X$ (la gráfica de $g$) $[0,1]$ es el bi-Lipschitz mapa de $f$.

Ahora puedo definir mi función de Lipschitz $g$ como sigue:

• $g(2^{-n}) = 0$ $n=0,1,2,\dots$ $g(0)=0$.
• En cada intervalo de $[2^{-(n+1)}, 2^{-n}]$, $g$ hace un `triangular tienda de campaña" de la pendiente $4$.

Así, por ejemplo, $g(1/2)=0$, en $[1/2, 3/4]$ $g$ sube con una pendiente de 4 a fin de que $g(3/4)=1$, luego en $[3/4,1]$ $g$ desciende con pendiente $4$ a cero. Se hace lo mismo que (a escala) en cada intervalo diádico.

Es claro que $g$ es de lipschitz con constante de lipschitz $4$.

Deje $X$ ser la gráfica de $g$ (con el ambiente métrica del plano).

Para cada una de las $n$, considerar cerrado el balón $\overline{B}((2^{-n},0),2^{-(n+1)})$. Ninguno de estos están conectados, ya que contienen cada uno de los dos "puntos de base" de la tienda a su izquierda, pero no el "pico" de la tienda.

Por ejemplo, $\overline{B}((1,0), 1/2))$ contiene $(1/2,0)$$(1,0)$, pero estos se encuentran en diferentes componentes conectados de la pelota, ya que la bola no contiene el pico $(3/4,1)$.

(Creo que las fotos que iba a hacer esto más claro, pero no soy buena en el dibujo sin mucho esfuerzo.)

En el extremo positivo, creo que para la primera pregunta que uno podría decir algo como "$X$ es bi-Lipschitz equivalente a la de un espacio en el que todos lo suficientemente pequeño cerrado bolas están conectados".