¿Existe una secuencia polinómica $P_n$ ¿Satisfacer esto?

Question

Rudin - RCA p.276 ejercicio 3

¿Existe una secuencia de polinomios $P_n$ tal que $P_n(0)=1$ para $n=1,2,...$ pero $P_n(z)\rightarrow 0$ por cada $z\neq 0$ , como $n\to \infty$ ?

El capítulo en el que se incluye este ejercicio trata del Teorema de Runge. Sin embargo, el Teorema de Runge no da información sobre la convergencia puntual, por lo que creo que es cierto. Pero tengo problemas para construir uno. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Para $0 < r < R < +\infty$ y $0 < \varepsilon < +\infty$ , dejemos que

$$A(r,R,\varepsilon) := \{ \rho \cdot e^{i\varphi} : r \leqslant \rho \leqslant R, \varepsilon \leqslant \varphi \leqslant 2\pi - \varepsilon\}.$$

Para $n \in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$ , dejemos que

$$K_n = \{0\} \cup e^{i/n}\cdot A\bigl(\tfrac{1}{n},n,\tfrac{1}{n+1}\bigr).$$

$\mathbb{C}\setminus K_n$ está conectado para todos los $n$ y la función

$$f_n \colon z \mapsto \begin{cases}1 &, z = 0 \\ 0 &, z \in K_n\setminus\{0\} \end{cases}$$

es holomorfo en $K_n$ (es decir, es la restricción a $K_n$ de una función holomorfa definida en alguna vecindad abierta de $K_n$ ), por lo que por el teorema de Runge existe un polinomio $Q_n$ tal que para todo $z \in K_n$ tenemos $\lvert Q_n(z) - f_n(z)\rvert \leqslant 2^{-n}$ . Dejemos que $P_n(z) = Q_n(z)/Q_n(0)$ entonces $P_n(0) = 1$ y $\lvert P_n(z) - f_n(z)\rvert \leqslant 2^{1-n}$ para todos $z\in K_n$ .

Ya que cada $z \in \mathbb{C}\setminus 0$ pertenece a $K_n$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ se deduce que la secuencia $(P_n)$ tiene las propiedades deseadas.