Mi pregunta viene de Spivak "Completa Introducción a la Geometría Diferencial Vol 1" (Capítulo 1, el Problema 24).
Antecedentes: Vamos a $X$ ser conectado, conectado localmente, localmente compacto, y hemicompact espacio de Hausdorff.
Y el final de la $X$ se define como una función de $e$ que asigna a cada conjunto compacto $C$ $X$ de un componente conectado de $X-C$, de tal manera que si $C \subset D$,$e(D) \subset e(C)$.
Deje $E(X)$ ser el conjunto de todos los extremos de X. En un problema previo, he demostrado que el set $X \cup E(X)$ se puede dar una topología con base en elementos de los bloques abiertos de X junto con los conjuntos de $N(C,e)=e(C) \cup \{f\in E(X) | e(C)=f(C)\}$ por cada end $e$ y un conjunto compacto $C$. (Gracias a Henno Brandsma aquí para lo que sugiere la hemicompactness condición que hace que este trabajo). Esta topología es compacto y Hausdorff.
Problema: El problema tiene cinco secciones (a-e). Me gustaría encontrar una prueba de b,d, y e. Creo que tengo una solución para a y c, que se describe más abajo.
a) Mostrar que es posible para $\mathbb{R}^2-A$ $\mathbb{R}^2-B$ a ser homeomórficos aunque $A$ $B$ son no-homeomórficos cerrada por subconjuntos.
b) Si $A \subset \mathbb{R}^2$ es cerrado y totalmente desconectado, a continuación, $E(\mathbb{R}^2-A)$ es homeomórficos a $A$. Por lo tanto, si $A$ $B$ son no-homeomórficos totalmente desconectado cerrado subconjuntos, $\mathbb{R}^2-A$ $\mathbb{R}^2-B$ son no-homeomórficos.
c) La derivada de establecer $A'$ de un conjunto $A$ se define como el conjunto de no-puntos aislados de a $A$. Demostrar que para cada una de las $n$, existe un subconjunto $A_n$ $\mathbb{R}$ de manera tal que el $n$'th derivados set ${A_n}^{(n)}$ $A_n$ se compone de un solo punto.
d) $c$ no homeomórficos cerrado, totalmente desconectada de subconjuntos de a $\mathbb{R}^2$.(Sugerencia: Deje $C$ ser el conjunto de cantor, y $c_1<c_2<c_3\ldots$ una secuencia de puntos en $C$. Para cada secuencia $n_1<n_2<n_3\ldots$, se puede agregar un conjunto $A_{n_i}$ de manera tal que su $n_i$'th derivados conjunto es $\{c_i\}$.)
e) No se $c$ no homeomórficos conectado abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}^2$.
Lo que he conseguido hasta ahora: Para la parte a, $A=$punto, y $B=$disco cerrado debe resolver el problema. Para la parte c, creo que podemos tomar la $1/n$ secuencia (y 0) y añadir pequeños secuencias que convergen para cada uno de los puntos de la original. Esto se puede hacer de forma recursiva.
Para la parte b, tengo la sensación de que el enunciado del problema debe ser para demostrar que $E(\mathbb{R}^2-A)$ es homeomórficos a la de un punto de compactification de $A$ ( $\tilde{A}$ ). (La razón por la que creo esto es debido a que $A$ podría no ser compacto, pero $E(\mathbb{R}^2-A)$ siempre. Se utiliza el punto de compactification también deben tener cuidado de la ilimitada final.)
Creo que la idea es definir una función de $\tilde{A}\to E(\mathbb{R}^2-A)$ que toma un punto de $a$ fin $e$ definido por $e(C)$= el componente de $\mathbb{R}^2-A-C$ cuyo cierre en $\mathbb{R}^2$ contiene $a$, y la toma de $\infty$ a finales $e$ definido por $e(C)=$el único componente no acotada de $\mathbb{R}^2-A-C$ (No estoy seguro de por qué hay un único, pero se siente como la eliminación de un cerrado totalmente desconectado conjunto de la conexión de un conjunto abierto debe dejar conectado a un conjunto abierto). Pero yo no podía probar que esta función está bien definida, y mucho menos bijective, continuo o abierto.
Si mi suposición sobre el punto de compactification en derecho, esto puede estropear el "por tanto" de la parte de b, porque el recuerdo de la lectura de somehere que es posible que dos no homeomórficos espacios para tener isomorfo a un punto compactifications.
Para la parte d, creo que podemos tomar el conjunto de cantor, y agregar los conjuntos en la parte c de manera vertical por la $c_i$. Pero yo no podía probar que el resultado es totalmente desconectados o cerrado, o que no se $c$ no homeomórficos.
Para la parte e, creo que es suficiente para probar que los complementos de los sets utilizados en la parte d están conectados.
Edit: Beni Bogosel ha proporcionado una buena respuesta a la parte c de abajo.
