Definición de la Cola del índice de distribución de probabilidad

Question

¿Qué es una definición válida de la Cola del índice de una distribución de probabilidad?

Entiendo que es algo para hacer con la tasa de convergencia de la función de densidad de $f(x)$ $($a$0)$$x \to \infty$. He intentado buscar en google y he encontrado un montón de artículos/papers sobre el tema, pero no puedo encontrar una definición específica del término.

Cualquier ayuda sería muy apreciada! Gracias.

Answer 1

He encontrado una definición en http://freakonometrics.hypotheses.org/2338, aunque de nuevo no se presenta como una primera definición de "cola " índice", sino más bien como un complemento a la discusión de lo que ellos llaman pesado de cola de las distribuciones. Así que he tenido que rellenar algunas partes para agregar un poco de rigor, y otras personas deben consultar estas piezas.

Las piezas obtenidas de la freakonometrics artículo son en las áreas sombreadas.

Considere la posibilidad de cualquier distribución $P(X)$ con función de distribución acumulativa $F(x) = 1- \overline{F}(x)$ definido por $\mbox{Pr }(X > x) = \overline{F}(x)$, de tal manera que para algunos $\xi>0$, $$ \overline{F}(x) = x^{-1/\xi}\mathcal{L}(x) $$ donde $\mathcal{L}(x)$ es poco a poco algunos variando en función de un gran $x$.

La cola del índice de la grasa de la cola de la distribución de $P(X)$ es, por definición,$\xi$.

Aunque la freakomomics artículo llama a esto un pesado de cola de la distribución, en Wikipedia y en otros lugares, esto se llama una grasa de cola de la distribución. La definición de un "poco a poco, variando la función de" es que para todos los $a>0$ $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\mathcal{L}(ax)}{\mathcal{L}(x)}=1 $$ Por lo tanto, podemos reformular la condición como $\overline{F}(x) \sim x^{-1/\xi}$ algunos $\xi>0$ donde $\sim$ denota equivalencia asintótica.

La definición de una pesada cola de la distribución dada en https://en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution es que $P(X)$ es un pesado de cola de la distribución si para todas las $\lambda > 0$, $$ \lim_{x\to\infty}e^{\lambda x}\overline{F}(x) = \infty $$ Toda la grasa de cola de las distribuciones son pesados-cola en este sentido, pero no viceversa.

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Agregó ejemplo, en respuesta a los comentarios

Por ejemplo, considere la distribución de probabilidad de la función $$f(x)=\left\{\matriz{0&x<1\\\frac{e^{1-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}&x\geq 1}\right. \\\overline{F}(x)= e^{1-\sqrt{x}}\mbox{ para } x\geq 1 $$ For any positive $\lambda$ $$\lim_{x\to\infty}e^{\lambda x}\overline{F}(x) = \infty$$ so the distribution is heavy-tailed. But for any positive $\xi$, $$ \lim_{x\to\infty}x^{1/\xi}\overline{F}(x) = 0 $$ lo que implica que la distribución no es la grasa de cola

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Equivalentemente, existe una lenta variación de la función $\mathcal{L}^*(x)$ tal que para $0<p<1$, $$ \log F^{-1}(1-p) = - \xi \log p + \log\mathcal{L}^*(1/p)$$

$\xi$ puede visualizar como el opuesto [negativo] de la pendiente, en pequeño $p$ $\log F^{-1}(1-p)$ cuando se traza contra $p$.

Alguien debe agregar a esta definición a la página de la Wikipedia sobre el pesado de cola de las distribuciones, justo encima de la sección de Pickand del estimador de la cola del índice. Sin embargo, creo que el Freakonometrics de referencia es inadecuada, porque no es la intención principal de una definición del término, y debido a la confusión acerca de la pesada cola y de la grasa de cola reduce la confianza en el uso de que como una referencia.