Deje $\{z_j\}$ ser la secuencia de ceros de una función toda $f$. Podemos definir la convergencia exponente de $\{z_j\}$ $$b=\inf\left\{\lambda>0\ \text{s.t.}\ \sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{|z_j|^{\lambda}}<+\infty\right\}$$ Deje $n(r)$ el número de $z_j$'s $|z_j|\leq r$. A continuación, la siguiente identidad se tiene: $$b=\limsup_{r\rightarrow +\infty}\frac{\log{\ n(r)}}{\log{r}}$$ ¿Crees que debería usar Jensen fórmula para demostrar esto?
Respuesta
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Sugerencia: tenga en cuenta que $$ \sum_{j\colon U\le |z_j|<2U} \frac1{|z_j|^\lambda} \le \sum_{j\colon U\le |z_j|<2U} \frac1{U^\lambda} \le \frac{n(2U)}{U^\lambda}. $$ Por lo tanto \begin{align*} \sum_{j=1}^\infty \frac1{|z_j|^\lambda} &\le \sum_{j\colon |z_j|<1} \frac1{|z_j|^\lambda} + \sum_{k=1}^\infty \sum_{j\colon 2^{k-1}\le |z_j|<2^k} \frac1{|z_j|^\lambda} \\ &\le \text{(finite number of terms)} + \sum_{k=1}^\infty \frac{n(2^k)}{(2^{k-1})^\lambda}. \end{align*} De esta manera, el conocimiento sobre el crecimiento de la $n(r)$ pueden ser convertidos en los límites de la suma en cuestión. Los límites inferiores puede ser tratada de la misma manera.
