Deje $S$ ser un subconjunto de un grupo de $G$ que contiene el elemento de identidad $1$ y de tal manera que la izquierda cosets $aS$$a$$G$, partición de $G$.

Question

Deje $S$ ser un subconjunto de un grupo de $G$ que contiene el elemento de identidad $1$ y de tal manera que la izquierda cosets $aS$$a$$G$, partición de $G$.Demostrar que $S$ a es un subgrupo de $G$.

Yo:

Para$h$$S$, Si me muestran que la $hS=S$, entonces eso implicaría que $S$ es cerrado.

Ahora $hS$ es un partiton de $S$ y contiene $h$ desde $1$$S$. También se $h$$S$. Por lo tanto $h \in S\cap hS$. Además, ambos son particiones y dos particiones son distintos o iguales. Por lo tanto $S=hS$ que dice que $S$ es cerrado.

¿Este parece bien??

Gracias!!

Answer 1

Deje $x,y\in S$, y considerar los conjuntos de $x^{-1}S$$y^{-1}S$, ahora la observación de que $1\in x^{-1}S\cap y^{-1}S$ $\{aS\}_{a\in G}$ es una partición de a$G$,$x^{-1}S=y^{-1}S$, ya que el $x^{-1}\in x^{-1}S$ obtenemos $x^{-1}\in y^{-1}S$ existe $s\in S$ tal que $x^{-1}=y^{-1}s$, lo $yx^{-1}=s\in S$. Se sigue que la $S$ es un subgrupo de $G$.

Answer 2

Era difícil seguir su argumento, pero creo que tienes derecho. Yo: Vamos a probar que S es cerrado bajo la multiplicación. Vamos a,b∈S ser arbitraria. Puesto que ab∈a medida, será suficiente para demostrar que como=S. Ya que e∈S, se tiene a=ae∈aS. Por supuesto, también tenemos a∈S=eS. Desde como y eS son tanto las células de la partición, que son iguales o distintos. Así que el hecho de que ambos contienen aimplies que como=eS=S.