Isomorfismo de producto directo de grupos

Question

Tengo grupos de $H_1,H_2,\dots, H_n$ % propiedad $H_i\cong G_i$, donde $G_1,\dots,G_n$ son también grupos.

Debe ser alguna manera fácilmente seguido que $G_1\times \dots\times G_n\cong H_1\times \dots\times H_n$.

¿Definir una función $\phi:G_1\times\dots\times G_n\to H_1\times \dots\times H_n$ donde $\phi(g)_i=h_i$ y demuestra que es un homomorfismo de biyectiva que debe quedar claro para esa función, pero es esto suficiente?

Answer 1

Denotar por $\varphi_i$ el isomorfismo entre la $G_i$$H_i$. La función de $\prod_{i=1}^n\varphi_i$ es la función que envía a $(g_1,...,g_n)\in G_1\times...\times G_n$$(\varphi_1(g_1),...,\varphi_n(g_n))\in H_1\times ...\times H_n$. Compruebe que esta función es inyectiva y surjective.