Secuencia de Cauchy

Question

Ser$a_{1}=1$$a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$, para todos los $n\ge1$. Es $(a_{n})$ una secuencia de Cauchy?

Intento: sé que el plazo $a_{n+1}$ depende de plazo $a_{n}$ y, en consecuencia, $a_{n}$ depende de $a_{n-1}$. A continuación se indica la secuencia de $(a_{n})=(1,1+\frac{1}{2},1+\frac{2}{5},1+\frac{5}{12},...,1+\frac{1}{1+a_{n-1}},...)$.

Creo que tiene que ser la aplicación de la definición de la secuencia de Cauchy, pero cdu no lo sé. Alguien me puede ayudar por favor?

Answer 1

Los términos de la siguiente manera el patrón $$ 1, 1+\frac{1}{1+1},1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1+1}},1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1+1}}} $$ A continuación, la secuencia es la convergentes de la siguiente continuó fracción $$[1,2,2,2,2,2,...].$$ Que es: la secuencia converge a $\sqrt{2}$.