$x(1-x)f''(x) - \lambda f(x) = 0$ donde $\lambda$ es cualquier constante.
Hasta ahora, he intentado adivinar ciertas formas funcionales, pero ninguno de ellos parece funcionar.
Respuesta
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$$x(1-x)y''(x)-\lambda y(x)=0$$ es un caso particular de la ecuación diferencial hipergeométrica : $$x(1-x)y''+\left(c-(a+b+1)x\right)y'-aby=0$$ http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html
En el presente caso : $a=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{1-4\lambda})$ , $b=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{1-4\lambda})$ , $c=0$
La solución general implica la función hipergeométrica de Gauss $\:_2F_1$ : $$y(x)=c_1\: _2F_1\left(\frac{1}{2}(-1+\sqrt{1-4\lambda}) \:,\: \frac{1}{2}(-1-\sqrt{1-4\lambda})\:;\: 0 \:;\: x \right) +\\+ c_2\: x\:\: _2F_1\left(\frac{1}{2}(1+\sqrt{1-4\lambda}) \:,\: \frac{1}{2}(1-\sqrt{1-4\lambda})\:;\: 2 \:;\: x \right)$$ Para algunos valores particulares de los parámetros $a, b, c$, la función hipergeométrica se reduce a funciones de más bajo nivel (primaria y/o especial) : https://fr.scribd.com/doc/14623310/Safari-on-the-country-of-the-Special-Functions-Safari-au-pays-des-fonctions-speciales , páginas 26-28.
