Contraejemplo a Gunther Teorema cuando suponiendo que sólo una curvatura de Ricci límite superior

Question

Uno de Gunther comparación de los teoremas de los estados que si $(M,g)$ es una completa colector de riemann, $m\in M$ , $\mathbb{B}_r(m)$ es un (geodésico) bola que no toca Cortar$_m$ y existe un $b\in\mathbb{R}$ tal que $K\le b$ (donde $K$ es la curvatura seccional) podemos decir que $$ vol_g(\mathbb{B}_r(m))\ge V^b(r) $$ donde $V^b(r)$ es el volumen de una bola de radio $r$ en el espacio de la forma de la curvatura $b$.

Me gustaría encontrar un contraejemplo de por qué esta declaración no puede ser verdad si adoptamos la misma hipótesis, pero el de la curvatura seccional, reemplazándolo con uno acerca de la curvatura de Ricci ($Ric_g \le (n-1)bg$ ). Soy consciente de que se puede demostrar que cada una de riemann colector (bajo adecuado de hipótesis) admite una métrica cuya curvatura de Ricci es estrictamente negativo, aunque todavía no he podido ver cómo puede ser útil en este contexto. El problema que me encuentro es que el volumen es una de Riemann idea, aunque supongo que la existencia de métricas de curvatura negativa es útil para obtener diferencial o topológica de la información.

Answer 1

Si es así, por el Obispo, todos los colectores de Einstein son la forma del espacio.

Por ejemplo, $X:=S^2(1)\times S^2(1),\ Y:=S^4(\sqrt{3})$ son Einstein. En el espacio en forma de curvatura $K$, $$ g_K=dr^2+ \frac{1}{\sqrt{K}}\sin\ \sqrt{K}r\ g_{S^{n-1}} $$

$r$-geodésico de la bola en $X$ tiene un límite superior $4\pi^2(1-\cos\ r)^2$. Sin embargo, en $Y$, $r$-geodésica de la bola tiene un volumen de $6\pi^2 (1-\cos\ r/\sqrt{3})$.