Mostrando una analítica de la función de la unidad de disco es distinto de cero en un determinado barrio

Question

Supongamos $f(z)$ es analítica para$|z|\le 1$$f(0) = a_0 \ne 0$. Si $M = \max_{|z|=1} |f(z)|$, entonces el espectáculo $f(z)\ne 0$ todos los $z$$|z| < \frac{|a_0|}{|a_0|+M} =:r$.

Sé que podemos escribir $f(z) = a_0 + z^kg(z)$, algunos $k\ge 1$ $g$ analítica y $g(0)\ne 0$. A partir de aquí, he intentado varias técnicas, como contradicción, asumiendo $f$ tiene una raíz en el disco $\{|z| < r\}$, o intento de uso del Teorema de Rouch en el disco mediante el examen de $|f(z)-a_0|$, pero realmente no he llegado a ninguna parte. Todas las sugerencias serán bienvenidos.

Answer 1

Deje $g(z) = f(z)-a_0.$ $g(0)=0$ $|g|\le M + |a_0|.$ El lema de Schwarz a continuación se muestra

$$|\frac{g(z)}{M+|a_0|}|\le |z|$$

para $|z|<1.$ si $|z|< |a_0|/(M+|a_0|),$ $|g(z)| < |a_0|.$ tales $z$ entonces tenemos $|f(z)| = |a_0 + g(z)| \ge |a_0|-|g(z)| > 0.$ (tenga en cuenta que sólo tenemos $f$ holomorphic en el abierto de la unidad de disco, con $M = \sup_{|z|<1}|f(z)|.$)

Answer 2

El mapa de $g(z):=f(z)/M$ es una analítica mapa de la unidad de disco en sí mismo.

A continuación, por el Schwarz-Teorema de Pick, para $|z|< 1$, $$\left|\frac{g(z)-g(0)}{1-\overline{g(z)}g(0)}\right|\leq |z|.$$ Si $f(z)=0$ $|z|<r<1$ $g(z)=0$ y obtenemos $$\frac{|a_0|}{M}=|g(0)|\leq |z| <r= \frac{|a_0|}{|a_0|+M}$$ lo cual es una contradicción, porque $f(0) = a_0 \ne 0$.