OP es curiosidad acerca de si una generalización es posible en el comentario.
En lugar de la desigualdad original en cuestión, les voy a mostrar una versión generalizada de que donde b puede depender de i.
Para cualquier x1,…,xN∈R+, vamos
G(x1,x2,…,xN)=(N∏k=1xk)1/N ser su media geométrica.
Recordamos siguientes propiedades de la media geométrica:
- Como una función, G(x1,…,xN) es creciente en cada individuo argumento de xk.
- Si uno divide x1,x2,…,xN en dos grupos, hemos
G(x1,x2,…,xN)N=G(x1,…,xM)MG(xM+1,…,xN)N−M
- En particular, si N=2M es incluso, esto lleva a la
G(x1,x2,…,xN)=G(G(x1,…,xM),G(xM+1,…,xN))
Para cualquier n≥2, vamos a Sn ser la declaración de
Para cualquier (a1,…,an),(b1,…,bn)∈Rn+,
G({ai+bi})=(n∏k=1(ak+bk))1/n≥G({ai})+G({bi})=(n∏k=1ak)1/n+(n∏k=1bk)1/n
S2 es cierto.
Aplicar Cauchy Schwarz a (√a1,√b1),(√a2,√b2), obtenemos
√(a1+b1)(a2+b2)=√(√a12+√b12)(√a22+√b22)≥√a1a2+√b1b2
Este es, precisamente,S2.
S2∧Sn⟹S2n.
Para cualquier
(a1,…,a2n)=(a′1,…,a′n,a1″, tenemos
\begin{array}{rll}
G(\{ a_i + b_i \})
&= G(G(\{ a'_i + b'_i \}),G(\{a''_i + b''_i\})) & \color{blue}{\text{prop 3.}}\\
&\ge G(G(\{a'_i\}) + G(\{b'_i\}),G(\{a''_i\})+G(\{b''_i\})) & \color{blue}{S_n \text{ and prop 1.}}\\
&\ge G(G(\{a'_i\})G(\{a''_i\})) + G(G(\{b'_i\})G(\{b''_i\})) & \color{blue}{S_2}\\
&= G(\{a_i\}) + G(\{b_i\}) & \color{blue}{\text{prop 3.}}\\
\end{array}
Por el principio de inducción, S_n es verdadera siempre que n = 2^k es una potencia de 2.
Para generaln > 2, pero no una potencia de dos, vamos a k ser el entero
tal que 2^{k-1} < n < 2^k.
Deje \bar{a} = G(a_1,\ldots,a_n)\bar{b} = G(b_1,\ldots,b_n). Considere la posibilidad de
después de dos 2^k-tuplas:
\begin{align}
( \tilde{a}_1,\ldots, \tilde{a}_{2^k})
&= ( a_1, a_2, \ldots, a_{n}, \bar{a}, \ldots, \bar{a} ),\\
( \tilde{b}_1,\ldots, \tilde{b}_{2^k})
&= ( b_1, b_2, \ldots, a_{n}, \bar{b}, \ldots, \bar{b} )
\end{align}
Es fácil ver
G(\{\tilde{a}_i\}) = \bar{a} y
G(\{\tilde{b}_i\}) = \bar{b}.
Se aplican S_{2k} a los dos 2^k-tuplas y elevar ambos lados de resultado a 2^k de la potencia, nos encontramos con
\begin{array}{rll} & G(\{ \tilde{a}_i + \tilde{b}_i \})^{2^k}
\ge (G(\{\tilde{a}_i\}) + G(\{\tilde{b}_i\}))^{2^k}\\
\iff & G(\{a_i + b_i\})^n (\bar{a}+\bar{b})^{2^k - n} \ge (\bar{a}+\bar{b})^{2^k}
& \color{blue}{\text{prop. 2 }}\\
\iff & G(\{a_i+b_i\}) \ge \bar{a} + \bar{b} = G(\{a_i\}) + G(\{b_i\})
\end{array}
Esto implica S_n es cierto para n otros de un poder de 2.
Como resultado, S_n es cierto para todos los n \ge 2.
La desigualdad en cuestión es un caso especial de este, donde todos los b_i = b.