Creo que este es un desarrollo en serie de Taylor. ¿Cómo me acerco a él, y qué fórmulas se pueden utilizar para resolver este tipo de problema?

Question

Supongamos que $|x| < 1$. Encontrar la suma de la serie

$$2x - 4x^3 + 6x^5 - 8x^7 + \cdots$$

No estoy en busca de una respuesta. Quiero saber la forma adecuada de resolver este tipo de pregunta, sin embargo.

Answer 1

En ocasiones, puede ser más fácil encontrar una fórmula de la integral o derivado de una serie. $$S(x) = 2x - 4x^3 + 6x^5 + \cdots$$

$$\int \!S(x)\, \mathrm{d}x = x^2 - x^4 + x^6 + \cdots$$

$$\int \!S(x)\, \mathrm{d}x = \frac{x^2}{1+x^2}$$

$$S = \left(\int \!S(x)\, \mathrm{d}x\right)' = \left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)' = \frac{2 x}{\left(x^2+1\right)^2}$$

Answer 2

Deje $S(x)$ ser la suma. Entonces $$x^2S(x)=2x^3-4x^5+6x^7-\cdots.$$ Así $$S(x)+x^2S(x)=2x+2x^3+2x^5+\cdots.\tag{1}$$ A la derecha podemos reconocer una serie geométrica, en primer término,$2x$, comunes relación de $x^2$, por lo que suma $\frac{2x}{1+x^2}$ si $|x|\lt 1$.

Finalmente, usando (1), nos encontramos con que $S(x)=\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$.

Answer 3

El Padé approximants método

Si la función es una función racional, entonces este método está garantizado para encontrar la función, siempre y cuando usted sabe lo suficiente términos de la serie. Este método puede ser generalizado para el llamado diferencial approximants método, y es entonces capaz de encontrar la función si satisface una ecuación diferencial de algunos finito de orden con coeficientes polinomiales. Se requiere un poco más de trabajo que de simplemente tratar algunas ad hoc manipulaciones, pero la ventaja es que es un método automático que está garantizado para encontrar cualquier función racional, sin embargo, complicado, siempre lo suficientemente términos son conocidos.

Ya que la función f(x) es impar podemos dividir por x para obtener:

$$g(x) = \frac{f(x)}{x} = 2 - 4 x^2 + 6 x^4 - 8 x^6+10 x^8\cdots$$

Ya que esta es la función de $x^2$, podemos considerar $h(x)=g\left(\sqrt{x}\right)$:

$$h(x) = 2 - 4 x + 6 x^2 - 8 x^3 +10 x^4\cdots$$

A continuación, vamos a multiplicar h(x) por un polinomio $q(x) = 1 + a_1 x + a_2 x^2 +a_3 x^3+\cdots a_n x^n$ y, a continuación, elegimos los coeficientes $a_r$ de manera tal que la máxima de n-1 de las órdenes de los conocidos términos de la serie del producto $q(x) h(x)$ se convierten en cero. Si nos encontramos con que esto nos obliga a elegir todas las $a_r$ r mayor que un número igual a cero, y todos los coeficientes de la serie de $q(x) h(x)$ a excepción de los primeros terminan igual a cero, entonces hemos de golpear el bote. Vamos a ver lo que tenemos por tomar $q(x)$ a ser un 3er grado del polinomio:

$$\begin{split} q(x)h(x) = 2 &+ (-4 + 2 a_1) x + (6 - 4 a_1+2 a_2) x^2 +(-8 + 6 a_1-4 a_2+2 a_3) x^3\\&+(10-8 a_1 + 6 a_2 - 4a_3)x^4 \end{split}$$

Igualando los coeficientes de los 3 más altos poderes a cero se obtiene:

$$\begin{split}a_1 &= 2\\ a_2 &=1\\ a_3 &=0 \end{split}$$

Así, podemos adivinar que un polinomio de orden superior no cambiaría el resultado, todos los coeficientes de potencias superiores a los 2 será igual a cero. También el producto simplfies a $q(x)h(x) = 2$. Esto no debe cambiar si se incluye más de los términos que se comprueba fácilmente ser el caso. Así, hemos encontrado que:

$$(1+2 x + x^2) h(x) = 2$$

Por lo tanto:

$$f(x) = xg(x) = x h(x^2) = \frac{2x}{\left(1+x^2\right)^2}$$