Congruencia y división

Question

¿Cómo puedo demostrar usando congruencia que $111^{333}+333^{111}$ está dividido por 7?

He intentado utilizar cada factor por separado pero realmente no conseguir en cualquier lugar. Le agradezco su colaboracion.

Answer 1

$$111\equiv -1\pmod 7\implies 111^{333}\equiv (-1)^{333}=-1$$

$$333\equiv 4\pmod 7=2^2$$

El uso de Fermat Poco Teorema, $2^{7-1}\equiv 1\pmod 7$

$$333^{111}\equiv (2^2)^{111}\pmod 7\equiv (2^6)^{37}\equiv 1\pmod 7$$

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Alternativamente, $333^3\equiv 2^6\equiv1$ $111^9\equiv-1\pmod 7$

Por eso, $7\mid(333^3+111^9)$

Pero $(333^3+111^9)\mid \{(333^3)^{37}+(111^9)^{37}\}$