La importancia de colimits filtrados en la teoría de homotopía

Question

Se me ha permitido asistir a algunas de las preparatorio de conferencias para un seminario en el Goodwillie Cálculo de Functors. He encontrado en mis notas de una de las conferencias de dos declaraciones, en las que me gustaría preguntar acerca de.

La primera es, probablemente, sencillo y supongo que está relacionado con Whitehead-tipo de teoremas. Aún así, todavía me gustaría una explicación detallada de lo que significa.

1. Cada homotopy es un tipo de filtrado colimit finito de CW complejos.

La segunda declaración es mucho más problemático porque yo no entiendo nada de contexto. Aquí está:

2. Queremos ver (extraordinario) teorías de homología $h_\ast :\mathsf{Top}\rightarrow \mathsf{grAb}$ que conmuta con filtrado colimits.

Mi pregunta es ¿para qué queremos para el estudio de la homología de las teorías que conmuta con filtrado colimits? Por lo que se le puede reducir a (finito) CW complejos? ¿Hay algo más?

Esta declaración es precedido en mis notas por el siguiente teorema de Whitehead:

Teorema. Para cualquier extraordinaria de homología de la teoría que se finitary ($\overset?=$ determinado por los valores finitos de CW complejos), existe un espectro de $E\in \mathsf{Sp}$ tal que $h_\ast (X)=\pi_\ast (E\wedge X)$ donde $\pi _\ast$ son estables homotopy grupos y $\wedge $ es el smash producto.

Ahora yo aún no sé nada acerca de cualquiera de los espectros no estable homotopy, así que no puedo hacer mucho de este teorema a mí mismo.

Answer 1

Creo que la mayoría de las cosas básicas que usted puede decir aquí nada tienen que ver mucho con homotopy teoría en particular. Es una característica general de muchas categorías familiares que cada objeto es un filtrado colimit de la "pequeña" de los objetos que son más fáciles de entender: por ejemplo, cada grupo es un filtrado colimit de finitely generado grupos, y cada anillo conmutativo es un filtrado colimit de finitely generados (en particular Noetherian!) los anillos. Si usted mira un functor en una categoría en la que viajes con filtrado colimits, a continuación, para entender lo que se hace, en general, usted sólo tiene que entender lo que hace a la "pequeña" de los objetos, y esto es una cosa útil para ser capaz de hacer.

La condición de que un functor desplazamientos con filtrado colimits es particularmente interesante cuando se aplica a representable functors $\text{Hom}(X, -)$, donde por lo general corresponde a algunas de las interesantes "finitud" o "compactness" condición en $X$. Ver objeto compacto para más detalles y ejemplos.

Answer 2

Para su primera afirmación: cada débiles homotopy tipo puede ser representado por algunos CW complejo de $X$. Este es uno de Whitehead más famoso de teoremas. Pero $X$ es dado como la unión de sus finito-dimensional skeleta $X^n$, y un anidada de la unión es un ejemplo particular de un filtrado colimit.

La razón para restringir a finitary homología de las teorías, lo que es equivalente, a aquellos que conmuta con filtrado colimits, es conseguir la mejor posible teorema de representabilidad. En cohomology de la teoría de Brown original del teorema de representabilidad dice que cada extraordinaria cohomology teoría es representable por un espectro.

A partir de una cohomology teoría representado por un espectro de $X$ podemos obtener una homología teoría definida en finito-dimensional CW complejos por Spanier-Whitehead dualidad, y así un finitary homología de la teoría a la afirmación del primer párrafo, y este proceso es reversible (esto es moralmente la razón por el teorema de Whitehead usted cita.) Pero no hay Spanier-Whitehead dualidad arbitrarias de los espacios, así que no hay manera de usar el Marrón de representatividad para obtener un espectro que representa un no-finitary la teoría de la homología. Y, de hecho, no todos extraordinaria de homología teorías son representables!

Answer 3

Creo que es más fácil de entender si se mira la otra manera alrededor. Singular homología conserva filtrada colimits (ejercicio: probar), pero no preservar otros tipos de colimits en general (ejercicio: encontrar un contraejemplo, un muy simple en realidad; si usted está atascado, eche un vistazo aquí). Entonces el teorema de la muestra lo útil que es:

Cada homotopy es un tipo de filtrado colimit finito de CW complejos.

Por este teorema, es decir, si usted quiere entender la homología, es suficiente para saber lo que hace con finito CW complejos, y luego, porque sabes que conserva filtrada colimits, usted también sabrá lo que hace a cada homotopy tipo.

Y ahora también tiene sentido ¿por qué restringimos nuestra atención a la generalizada homología de teorías que sólo preservar filtrada colimits (pero no necesariamente de carácter general): de lo contrario, homología singular ni siquiera sería un ejemplo de una generalización de la teoría de la homología, así que no es muy claro lo que iba a ser la generalización de aquí...

Y ahora el adjetivo "finitary" tiene sentido: una homología teoría se dice que finitary si conserva filtrada colimits y, a continuación, por el primer teorema de hecho, es determinado por su valor finito CW complejos.