Demostrar que al dividir un campo cuadrado entre tres personas, una persona debe poseer dos puntos más de 1 km de distancia

Question

Tenemos un campo rectangular con un $1$ km lado tenemos que dividir entre tres personas (no tiene que ser justo, uno de ellos podría incluso conseguir nada de eso!). ¿Cómo puedo demostrar que al menos una de las personas posee dos puntos distantes estrictamente por más de $1$ km ?

La forma en que la plaza está dividida no tiene ninguna restricción especial (por ejemplo, incluso podría ser : todos los puntos racionales de la distancia desde la esquina superior izquierda va a la 1ª persona, etc, etc)

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Si alguien no tiene nada, es obvio (que significaría que los otros dos, ambos tienen dos esquinas en un lado, y por dibujar dos círculos para cada veremos que algunos de la zona, no sería dado a nadie.)

Si una de las personas tiene 3+ esquinas, es obvio. Supongamos que una de las personas tiene exactamente dos vértices. También se puede mostrar fácilmente que si las otras dos esquinas pertenecen a la misma persona, el problema se hace evidente. ($\rightarrow$ le acababa de necesidad de dibujar los círculos de el caso de que una de las personas no tiene ninguna zona en todo, y luego le dan a la zona, no en los círculos de esa persona. Entonces, es obvio que la persona que sería propia de los segmentos en los lados opuestos, lo que implicaría que hay dos puntos de la verificación de los requisitos.)

¿Cómo puedo resolverlo cuando una persona tiene dos esquinas, y los otros dos tienen cada uno una esquina ?

Answer 1

Asumir por el bien de la contradicción que es posible distribuir la tierra y tal que dos puntos cualesquiera de una persona de la tierra mentira no más de $1$ km de distancia.

Como usted ha dicho una persona, digamos persona de naranja, debe tener 2 esquinas adyacentes. La cantidad máxima de tierra de que puede tener en adición a los dos curvas, se detalla a continuación (se rige por los círculos de radio 1 centrada en las esquinas).

Las otras dos personas, persona de color púrpura y persona de color verde, también debe obtener el mismo dos esquinas, porque para cualquier $\epsilon>0$ existe una oficina con un pedazo de tierra dentro de $\epsilon$ de las esquinas. La cantidad máxima de tierras persona de color púrpura y la persona verde puede tener dadas estas limitaciones también se muestra a continuación (de nuevo, regido por los círculos de radio 1 centrada en las esquinas).

Esto deja a la región negra imposible de reclamación. Por lo tanto hemos deseado contradicción.

Answer 2

WOLOG, decir de una persona tiene $(0,0), (0,1)$, otro tiene $(1,0)$, y el tercero tiene $(1,1)$. Entonces la persona que tiene $(1,0)$ tiene el lado izquierdo todo excepto el punto base y la persona que tiene $(1,1)$ tiene el lado derecho todo excepto el punto base. ¿Ahora que es $(1/2,1)$?

Answer 3

Supongo que no, así que tenemos una partición del cuadrado en 3 sets $P_a,P_b,P_c$. Sabemos que las 4 esquinas son asignados de alguna manera a las 3 personas (persona $a,b$$c$) por lo que alguien tiene al menos 2 de las esquinas, que debe ser adyacente, ya que la diagonal es la longitud de la $\sqrt{2}$. Terminamos (WLOG por la simetría y puesto que no se puede tener 3 vértices) con vértices etiquetados en el sentido de orden de $a,a,b,c$. Dibujar en la región más grande posible asignar a la persona $a$ (la intersección de los discos de radio 1 acerca de los dos $a$ vértices con el cuadrado). El resto de la plaza se debe asignar a la persona $b$$c$. Persona $b$ tiene todos los puntos en un pequeño barrio de su adyacentes $a$ vértice dado que estos puntos son más de 1 distancia desde el vértice $c$. De manera similar para el adyacentes $a$ vértice a $c$ y los puntos asignados a $c$. A continuación, la más grande de las regiones asignable a $b$ (de manera similar $c$) están contenidas en las intersecciones de los discos alrededor de $b$ y su vértice adyacente $a$ (de manera similar $c$, y sus adyacentes en un vértice). Pero fíjate ahora en la unión de la más grande posible para la región $a$,$b$, y $c$, y no cubre la totalidad de la plaza. Contradicción.