Es $4$ el único poder de $2$ con un ternario, representación que consta de sólo impar de dígitos?

Question

$2^2 = 11_3$

$2^3 = 22_3$ (incluso sólo dígitos)

$2^4 = 121_3$ (uno incluso dígitos)

He mirado en los poderes de la $2$ de esta forma hasta el $2^{25}$, que por supuesto no demostrar que estoy en lo correcto, porque yo podría detener a la derecha antes de que el contraejemplo.

El ternario repunits son números de la forma $$\frac{3^n - 1}{2}$$ y a partir de esto (si estoy en el camino correcto), la prueba o refutación de mi intuición fácilmente debe seguir. Entonces empecé a pensar acerca de Fermat poco teorema y conseguí todo confuso.

Answer 1

Básicamente se desea determinar para qué $n$ $3^n-1$ es una potencia de dos. Yo reclamo que $n$ debe $1$ o $2$.

Tenga en cuenta que $3^{2k+1}-1$ es igual a $2$ mod $4$ cualquier $k$. Esto significa que el único extraño $n$ tal que $3^n-1$ es una potencia de $2$$n=1$.

Si $n=2k$ es incluso, a continuación, escriba $3^{2k}-1 = (3^k-1)(3^k+1)$. Si esta es una potencia de dos, $3^k-1$ $3^{k}+1$ son potencias de dos, en cuyo caso deberán ser$2$$4$, y por lo tanto $n=2$.

Answer 2

$2^0=1=1_3$ se compone sólo de impar de dígitos. Supongo que significaba para excluir que así. No hay otro fuera de $1$$4$. Como usted dice, el $n$ dígitos repunit es $\frac 12(3^n-1)$, de modo que tendría que tener a $3^n-1=2^m$ algunos $n,m$. Catalán de la conjetura (ahora Mihăilescu del teorema) dice que el único perfecto poderes que se diferencian por $1$ $3^2=9$ $2^3=8$